1 Теоретические основы разрабатываемой темы
Целью данной курсовой работы является решение конкретной задачи линейного программирования. Во всех таких задачах требуется найти максимум или минимум линейной функции при условии, что её переменные принимают неотрицательные значения и удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений или линейных неравенств либо системе, содержащей как линейные уравнения, так и линейные неравенства. Каждая из этих задач является частным случаем общей задачи линейного программирования.
Наиболее распространенными направлениями использования линейного программирования на предприятии Открытое Акционерное Общество (ОАО) «Башинформсвязь» являются:
задачи графического и транспортного типа;
задача оптимального распределения средств, ресурсов т.д. (составить оптимальный план работы).
Для решения задачи данной курсовой работы было выбрано направление задачи по оптимальному распределению объемов работы на предприятии. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение линейной функции.
Ряд задач линейного программирования направлены на облегчение работы в поиске оптимального решения, потому что математические методы более точны и в них используются более четкие формулировки и более широкий набор понятий, но в конечном счете они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями.
1.1 Основные понятия линейного программирования
Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.
Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего (наименьшего) значения функции при определенном наборе ограничений, которые образуют в свою очередь систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений.
Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум (минимум) которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум (минимум) функции F, называется оптимальным планом поставленной задачи линейного программирования.
При ограниченных средствах и ресурсах, чтобы достичь наибольшего результата, необходимо составить план действий. На практике задачи математического программирования слишком громоздки для ручного счета, то решить их можно с помощью ЭВМ [].
Любая задача линейного программирования (ЗЛП) приводится к стандартной и канонической форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения переменных X1 , X2 , Xn , удовлетворяющих ограничениям.
Стандартная форма задачи линейного программирования состоит из целевой функции, системы ограничений и условия не отрицательности значения переменных и имеет вид:
В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х1, х2, ..., хn являются неотрицательными:
Оптимизация – целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. В настоящее время оптимизация находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности [1].
Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов. При постановке задачи оптимизации предполагается выделить существенно важные свойства процесса, такие как количество, расход и качество.
Задание курсовой работы будет выполняться с помощью симплекс-метода, который является основным методом в линейном программировании.
Симплексный метод задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным).
Алгоритм нахождения оптимального плана симплексным методом включает в себя следующие этапы:
нахождение опорного плана;
составление симплекс-таблицы в общем виде (таблица 1);
в нижней строчке симплекс-таблицы необходимо отыскать отрицательные элементы (не считая коэффициент целевой функции F). Если такие элементы отсутствуют, то данное базисное решение является оптимальным.
Изучение выбранной области решения задач линейного программирования для курсовой работы интересно тем, что распределение средств планируется заранее на основе расчетов, но при этом должны учитываться многочисленные факторы, такие как выявление новых целей и изменение условий, тогда потребуется производить перерасчет. Для удобства перерасчета решение задачи будет реализовываться с помощью ЭВМ в MS Excel.
Алгоритм решения задачи линейного программирования в MS Excel состоит из следующих этапов:
создание формы для решения задачи;
ввод граничных условий и исходных данных;
назначение ячейки, содержащей целевую функцию;
нахождение целевой функции с помощью поиска решений.
В ячейку целевой функции необходимо ввести формулу =СУММПРОИЗВ(массив1;массив2). Далее в окне поиска решения устанавливаем целевую ячейку, направление изменения функции (минимальное, максимальное), выделяем блок изменяемых ячеек, затем добавляем ограничения. В окне «Параметры поиска решения» установим линейная модель и неотрицательные значения. Нажимаем выполнить и сохранить полученное решение.
2 Практическая часть разрабатываемой темы
Практическая часть курсовой работы по дисциплине «Математические методы», является важной частью всей работы. Данный раздел содержит постановку задачи и построение математической модели, в ходе чего должны быть закреплены знания, полученные в ходе прохождения практики по профилю специальности.
2.1 Постановка задачи
Постановка задачи – формулировка условий задачи с описанием входных и выходных данных.
В качестве примера задачи связанной с поиском максимального решения, рассмотрим поставленную задачу, которая должна реализовать оптимальное распределение объемов работы по ремонту сетевого оборудования .
На предприятии ОАО «Башинформсвязь» имеется трое рабочих, которые занимаются ремонтом сетевого оборудования: ADSL-модем, сплиттер, аналоговый модем для Dial-up технологии Интернета.
Первый рабочий ремонтирует 1 единицу ADSL-модема за 1 час, 1единицу сплиттера за 1 час и на ремонт единицы аналогового модема он затратит 2 часа, при этом за смену, которая длится трое суток, рабочий должен отработать не более 27 часов. Второму рабочему соответственно потребуется 2,3,1 час и отработать за смену должен не более 20 часов. Третий рабочий-стажер и времени на ремонт оборудования требуется больше: 3,2,2 часа соответственно и отработать за смену должен не более 16 часов.
За смену планируется отремонтировать 15 ед. ADSL-модема, 20 ед. сплиттера и 10 ед. аналогового модема.
Требуется составить оптимальный план распределения объемов работы на каждого рабочего так, чтобы количество отремонтированного сетевого оборудования было максимальным.
Все необходимые для решения задачи исходные и вспомогательные данные приведены в таблице 2.
Таблица 2 – Исходные данные
Рабочий |
Длит-ть смены (час) |
Время затраченное на ремонт 1ед. оборудования (час) |
||
|
|
ADSL-модем |
Сплиттер |
Аналоговый модем |
1 рабочий |
27 |
1 |
1 |
2 |
2 рабочий |
20 |
2 |
3 |
1 |
3 рабочий-стажер |
16 |
3 |
2 |
2 |
Оборудование, требующее ремонта (шт) |
|
15 |
20 |
10 |
Входными данными данной задачи является сетевое оборудование, которое было сдано на ремонт абонентами ОАО «Башинформсвязь», также рабочие по которым требуется распределить объем работы.
Выходными данными является оптимальное решение, которое распределит ремонт оборудования между 3 рабочими.
Период за который необходимо составить оптимальный план является трое суток.
При постановке задачи для курсовой работы необходимо выполнить следующие пункты:
сформулировать цель и задачу;
составить план решения определиться с методом решения поставленной задачи линейного программирования;
решить задачу аналитическим методом и проверить решение с помощью MS Excel и Maple.