2.7.2. Інтервальні оцінки середнього квадратичного

відхилення.

Оскільки однією з точкових оцінок для середнього квадратичного відхилення є виправлене середнє квадратичне відхилення , яке визначене формулою (2.8), то для знаходження інтервальної оцінки для нього потрібно розв’язати рівняння

або еквівалентне рівняння

(2.14)

де надійність.

Для розв’язання рівняння (2.14) використовуємо розподіл «хі-квадрат» і приходимо до такого висновку:

• якщо розв’язок рівняння

(2.15)

менший від одиниці ,то з надійністю середнє

квадратичне відхилення випадкової величини

справджує нерівність

(2.16)

де густина розподілу «хі-квадрат» (див. 2.4).

Розв’язок знаходимо за даними з таблиці

додатка 5.

• якщо то нерівність (2.16) набуває вигляду

(2.17)

а рівняння (2.15) зводиться до такого

(2.18)

Для знаходження розв’язку рівняння (2.18) для даних

також використовують таблицю додатка 5.

Приклад 2.5. За даними вибірки прикладу 2.3. знайти інтервальну оцінку середнього квадратичного відхилення для заданої надійності .

Розв’язання. Вибіркове середнє було обчислене в прикладі 2.3. Обчислимо виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення:

За таблицею додатка 5 для значень знаходимо Тому довірчий інтервал для визначиться нерівністю

Отже з ймовірністю середнє квадратичне відхилення потрапляє в інтервал

Приклад 2.6. Відомо,що вибірка обсягу репрезентує випадкову величину , яка розподілена за нормальним законом з вибірковим середнім квадратичним відхиленням Знайти довірчий інтервал для з надійністю

Розв’язання. За даними значень і з таблиці додатка 5 знаходимо Оскільки , то для знаходження довірчого інтервалу використаємо нерівність (2.17). Отже маємо

.

і остаточно

Тому інтервал «накриває» середнє квадратичне відхилення з ймовірністю

3. Статистична перевірка гіпотез

3.1. Статистичні гіпотези та їх різновиди

При дослідженні багатьох випадкових явищ необхідно знати закон розподілу генеральної сукупності, якщо закон розподілу — невідомий, але є міркування для припущення його певного вигляду А, наприклад, розподіл — рівномірний, показниковий або нормальний. Тоді висувають гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом А.

В цій гіпотезі мова йде про функцію розподілу невідомого розподілу. Проте іноді закон розподілу генеральної сукупності — відомий, але його параметри — невідомі. Якщо є міркування припустити, що невідомий параметр дорівнює певному значенню , то висувають гіпотезу: . Ця гіпотеза вказує на припущену величину параметра відомого розподілу.

Статистичними називаються гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Наприклад, статистичними гіпотезами є такі:

• генеральна сукупність розподілена за нормальним законом;

• дисперсії двох випадкових величин, які розподілені за законом Пуассона, рівні між собою.

Разом з припущеною гіпотезою завжди можна розглядати протилежну до неї гіпотезу. Якщо припущена гіпотеза була відхилена, тоді справедлива протилежна гіпотеза.

Основною (нульовою) називається гіпотеза , яка припускається.

Альтернативною (конкурентною) називається гіпотеза , що суперечить основній.

Наприклад, якщо то