3. Інтервальні оцінки параметрів розподілу

Точкова оцінка параметра розподілу є досить близькою до його точного значення, якщо обсяг вибірки — досить великий. Якщо ж обсяг вибірки — невеликий ,то між точковою оцінкою і точним значенням параметра можуть бути значні розбіжності. У зв’язку з цим виникає питання про надійність точкової оцінки.

Зрозуміло, що точкова оцінка параметра є тим точнішою, чим менша величина різниці . Якщо б вдалось встановити, що то число характеризувало б точність точкової оцінки Однак статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що бо — випадкова величина. Можна лише говорити про ймовірність , з якою ця нерівність виконується.

Означення 5. Надійністю (довірчою ймовірністю) точкової оцінки параметра розподілу називають ймовірність , з якою виконується нерівність тобто

(2.9)

На практиці надійність оцінки задається наперед, причому число вибирають близьким до одиниці:

Співвідношення (2.9) можна записати так:

(2.10)

Означення 6. Інтервал для якого виконується рівність (2.10), називається довірчим (надійним) інтервалом, а його межі — довірчими (надійними) межами для параметра розподілу

Загальний спосіб, за допомогою якого знаходять довірчий інтервал, полягає в розв’язанні рівняння (2.10) і визначення з нього числа Для цього потрібно обчислити ймовірність . Це обчислення можна виконати, якщо відомий закон розподілу точкової оцінки або пов’язаної з нею іншої випадкової величини, бо при цьому можна використати відомі формули теорії ймовірностей:

де - функція розподілу, а - густина розподілу випадкової величини

При знаходженні довірчих інтервалів точкових оцінок параметрів розподілу поряд з відомими законами розподілу випадкових величин (закон розподілу Пуассона, нормальний закон розподілу, показниковий закон ) в статистиці часто застосовують розподіли: «хі-квадрат», Стьюдента і Фішера-Снедекора.

2.4. Розподіл - «хі-квадрат»

Нехай — незалежні і розподілені за нормальним законом випадкові величини з математичними сподіваннями та середніми квадратичними відхиленнями .

Випадкова величина

має розподіл з ступенями вільності, який характеризується густиною:

де - стала, яка визначається з умови нормування:

Розподіл «хі-квадрат» залежить від одного параметра і при він наближається до нормального закону розподілу.

5. Розподіл Стьюдента

Нехай — випадкова величина, яка розподілена за нормальним законом, причому а — незалежна від випадкова величина, яка розподілена за законом «хі-квадрат» з ступенями вільності. Випадкова величина

Має розподіл Стьюдента з ступенями вільності, який характеризується густиною :

де — нормуюча константа.

Розподіл Студента також залежить від одного параметра і при наближається до стандартного нормального розподілу.