2. Оцінки невідомих параметрів розподілу

1. Точкові оцінки.

Означення 1. Будь-яку однозначну функцію за допомогою якої знаходять наближене значення невідомого параметра відомого розподілу випадкової величини , називають точковою оцінкою цього параметра.

Точкова оцінка сама є випадковою величиною, яка для різних вибірок набуває різних значень.

Для того, щоб оцінка була в певному сенсі «найкращою», тобто мала практичну цінність, вона повинна справджувати умови незміщеності, змістовності та ефективності.

Означення 2. Точкова оцінка для параметра випадкової величини називається незміщеною, якщо її математичне сподівання дорівнює точному значенню цього параметра, тобто

В протилежному випадку точкову оцінку називають зміщеною.

Означення 3. Точкова оцінка параметра розподілу називається змістовною (консистентною), якщо збігається за ймовірністю до параметра випадкової величини при необмеженому зростанні числа спостережень, тобто виконується така рівність:

,

де - як завгодно мале число.

Для виконання даної граничної рівності достатньо, щоб дисперсія оцінки необмежено наближалась до нуля при , тобто :

і щоб оцінка була незміщеною.

Оскільки — випадкова величина, значення якої змінюються від вибірки до вибірки, то міра її розсіювання навколо математичного сподівання характеризуються дисперсією

Означення 4. Незміщена оцінка називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх незміщених оцінок параметра , обчислених за вибірками одного і того ж обсягу.

Через те, що параметри розподілу випадкової величини часто, у простий спосіб, виражаються через її чисельні характеристики, перш за все виникає задача про оцінки основних чисельних характеристик випадкової величини .

2. Точкові оцінки математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення.

Нехай — вибірка, яка отримана в результаті незалежних спостережень над випадковою величиною

— деякою ознакою генеральної сукупності, яка має математичне сподівання .

За точкову оцінку математичного сподівання беруть вибіркове середнє:

(2.1)

для незгрупованої вибірки і

(2.2)

для статистичного розподілу вибірки (5).

Можна показати, що оцінка є незміщеною, змістовною за умови, що випадкова величина має скінчену дисперсію. Якщо ж випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметрами ,то оцінка є й ефективною.

За точкову оцінку дисперсії беруть вибіркову дисперсію:

(2.3)

у випадку незгрупованої вибірки або

(2.4)

для статистичного розподілу вибірки (5), які є зміщеними оцінками для параметра .

За точкову оцінку дисперсії беруть також виправлені вибіркові дисперсії:

і (2.5)

(2.6)

відповідно, які є незміщеними оцінками параметра .

Можна показати, що оцінки і є змістовними, проте не є ефективними.

Зауважимо, що і пов’язані співвідношенням:

(2.7)

У випадку, коли випадкова величина розподілена за нормальним законом і математичне сподівання - відоме, то незміщеною, грунтовною та ефективною оцінкою дисперсії є одна з наступних оцінок:

.

Оскільки середнє квадратичне відхилення дорівнює , то за оцінку параметра можна вибрати один із варіантів вибіркового середнього квадратичного відхилення:

, (2.8)

де — одна з оцінок (2.3)-(2.6).

Слід зауважити, що всі оцінки для ,які обчислюються за формулою (2.7), не є незміщеними, ефективними, а є лише змістовними.

Приклад 2.1. Статистичні дослідження рівня денного доходу працюючого офіцера-пожежника дали такі результати:

-дохід у гр.	6	7	8	9	10	11	12	13	14
-число офіцер.	1	2	3	20	25	24	15	7	3

Обчислити точкові оцінки чисельних характеристик , де — рівень доходу одного працюючого офіцера.

Розв’язання. За точкову оцінку математичного сподівання беремо вибіркове середнє і обчислюємо її за формулою (2.1):

Отже середній дохід працівника протягом дня становить гривні.

Точкову оцінку дисперсії обчислимо у двох варіантах:

зміщену точкову оцінку обчислимо за формулою :

незміщена оцінка (виправлена дисперсія) обчислюється за формулою (2.7):

Як видно з попередніх обчислень, відхилення зміщеної оцінки від незміщеної становить і є порівняно мале, бо обсяг вибірки є досить великим.

Для середнього квадратичного відхилення отримуємо такі оцінки:

Приклад 2.2. Статистичні дослідження зростання продуктивності праці підприємств регіону в даному році у відсотках до відповідного періоду попереднього року виражаються інтервальним розподілом вибірки:

					120-130
		14		20	4

Обчислити оцінки для де - зростання продуктивності праці одного підприємства регіону у відсотках до відповідного періоду попереднього року.

Розв’язання. Точкову оцінку математичного сподівання обчислимо за формулою (2.1) з врахуванням того, що

Отже середнє зростання продуктивності праці одного підприємства в даному році у відсотках до відповідного періоду попереднього року становить 106 %.

Зміщену точкову оцінку дисперсії обчислимо за формулою :

з таким же вибором , як при знаходженні точкової оцінки . Маємо:

За формулою (2.7) обчислимо незміщену точкову оцінку дисперсії:

Для середнього квадратичного відхилення маємо наступні оцінки: