Лекція 16 Складність деяких методів експоненцирування точки кривої.

План

1. Алгоритм подвоєння - додавання.

2. Алгоритм подвоєння – додавання - вирахування.

3. Метод вікон з алгоритмом подвоєння – додавання - вирахування.

4. Метод Монтгомері.

5. Метод експоненцирування Монтгомері.

Найпоширенішою операцією у всіх криптографічних алгоритмах є - кратне додавання точки , позначуване як

Цю операцію звичайно називають скалярним множенням, або, звертаючись до термінології мультиплікативної групи, експоненцируванням точки кривої.

З метою підвищення продуктивності при обчисленні точки багатьма авторами запропоновані різні методи. Дамо короткий опис й оцінку складності найпоширеніших з них .

Підхід до розрахунку точки може відрізнятися залежно від того, чи є точка фіксованою (заздалегідь відомою) або довільною точкою. У першому випадку завжди можна користуватися предрозрахунуками точок, наприклад, , які зберігаються в пам'яті. Двійкове подання числа дозволяє селектирувати ті з них, які в результаті підсумовування утворять точку . У другому, більш загальному випадку, всі обчислення доводиться проводити в реальному часі.

Нехай порядок і число представлене у двійковій системі

Розглянемо спочатку основні алгоритми експоненцирування при невідомій заздалегідь точці

Алгоритм подвоєння - додавання

Це самий природний і простий метод, при якому обчислення здійснюються по формулі

Ці обчислення на основі методу розрахунку ліворуч - праворуч здійснюються за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм 1.

Вхід

Вихід

1.

2.

2.1.

2.2.

3. .

Реалізація методу вимагає операцій подвоєння точки й додавань , де - вага Хеммінга двійкового вектора (число одиниць цього вектора). Так як в середньому число одиниць випадкового вектора дорівнює , загальне число групових операцій оцінюється величиною

Алгоритм подвоєння - додавання - вирахування

Попередній алгоритм можна вдосконалити, якщо вести додаткову операцію - вирахування точки. Цей метод запропонований в 1990 році Ф. Морейном і Дж. Олівосом. Наприклад, число у двійковій системі має вага , але його можна представити як з вагою Ця ідея знижує вагу Хеммінга і, відповідно, число групових операцій. Реалізувати алгоритм подвоєння – додавання вирахування можна переходом від двійкового подання числа до трійкового з коефіцієнтами Одне із властивостей подання - відсутність у ньому суміжних пар ненульових елементів, завдяки чому зростає питома вага нульових елементів . Для розрахунку використається наступний алгоритм.

Алгоритм 2.

Вхід позитивне ціле число

Вихід

1.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

3.

Після розрахунку обчислюється точка методом ліворуч – праворуч за допомогою алгоритму 3.

Алгоритм 3.

Вхід

Вихід

1.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

3. .

- подання числа може виявитися на один біт більше двійкового. У той же час, для випадкового ймовірність ненульових елементів і знижується від до , тобто, у середньому, для - розрядного числа їхня кількість оцінюється величиною . Тоді загальне середнє число групових операцій додавання й подвоєння в алгоритмі 3 можна оцінити як суму

Метод вікон з алгоритмом подвоєння - додавання - вирахування

Якщо в криптосистемі є резерви пам'яті, їх можна задіяти для подальшого збільшення швидкості обчислень. Ідея полягає в тому, що замість точки можна експоненцирувати і надалі складати суміжні блоки або вікна шириною в - поданні точки

Для цього розраховується за допомогою алгоритму 2 трійкове число , що потім може розбиватися на блоки довжиною, не менше

Назвемо - вікном числа непарний коефіцієнт утримуючий хоча б один ненульовий елемент. Зазначимо, що . Наприклад, при маємо 8 різних значень

Цих вікон досить для формування числа довільної довжини . Ясно, що парні коефіцієнти в - поданні числа надлишкові, тому що вони утворяться подвоєнням непарних. На першому етапі предрозрахунків розраховуються й записуються на згадку 8 точок і

У загальному випадку в пам'яті зберігається точок. Число може бути визначене за допомогою модифікованого алгоритму 2. Модифікація полягає в наступному на кроці 2.1 замість варто записати , де означає ціле число , певне в інтервалі . Далі обчислюється точка згідно алгоритму 4.

Алгоритм 4

Вхід

Вихід

1.

2.

3.

3.1.

3.2.

4. .

Нехай, наприклад, при цьому й Використання трійкового вимагає, мабуть, двох додавань точок, тоді як у другому випадку за рахунок попереднього розрахунку точки досить одного додавання. Число подвоєнь однаково в обох випадках. Ясно також, що виграш за рахунок вікна з'являється лише при порівняно більших довжинах числа

Перший крок алгоритму 4 у загальному випадку вимагає групових операцій із точками кривої. На третьому кроці складність обчислень оцінюється середнім числом групових операцій додавання й подвоєння. Ріст ширини вікна веде к збільшенню складності обчислень на першому кроці ( і об'єму пам'яті ) і зниженню тимчасової складності на третьому кроці. Для значень розширення поля порядку 180-260 оптимальним виявляється вікно шириною , а при - вікно шириною