12. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой

Возможны случаи, когда на тело действуют несколько упругих сил. Каждая из этих сил заставляет тело совершать гармоническое колебание. При одновременном воздействии этих сил тело одновременно будет участвовать во всех этих движениях. Примером может служить барабанная перепонка, одновременно воспринимающая множество звуковых колебаний. В этом случае, чтобы найти результирующее движение, необходимо сложить колебания.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми частотами, но разными амплитудами и начальными фазами, направленных вдоль одной прямой:

Результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды вращающимся вокруг т. О с той же угловой ω А = А₁ + А₂

Для определения результирующего смещения применяется векторный метод сложения колебаний

A₁, А₂ и φ₁, φ₂ – амплитуда и фаза 1-го и 2-го колебания в момент времени t=0

Так как векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и их результирующий вектор А будет вращаться с той же угловой скоростью, то есть, результирующее движение также будет гармоническим с круговой частотой w.

Р езультирующее колебание определяется уравнением вида

и теоремы косинусов видно, что

Начальная фаза определяется из соотношения

13. Частные случаи. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть

колебания синфазны

Р азность фаз равна нечетному числу π, то есть

колебания в противофазе

А₁ = А₂, фазы противоположны Результирующее колебание = 0 (min)

. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом

Это негармонические колебания

Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания

одинакового направления мало отличаются по частоте .

Если амплитуды двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, одинаковы, а частоты мало отличаются друг от друга, то в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. ω = ω +Δω Эти колебания называют биениями.

Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д

14. Затухающие колебания

В реальных условиях на тело со стороны окружающей среды действуют силы трения,

п репятствующие движению. На преодоление сил трения расходуется энергия. Вследствие этого, энергия колеблющегося тела уменьшается и, следовательно, уменьшается амплитуда колебаний, т.е. колебания становятся затухающими. Запишем второй закон Ньютона для реальных условий:

Так как все силы действуют вдоль одной линии, то в скалярном виде уравнение движ ния будет иметь вид:

При небольших скоростях движения сила трения пропорциональна скорости и направле-

на противоположно ей, поэтому

где r – коэффициент трения. Тогда второй закон Ньютона запишется:

перенесем все члены уравнения в левую часть и разделим на m:

П олучили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, общее решение которого будет иметь следующий вид:

г де w- круговая частота затухающих колебаний:

Выражение является уравнение затухающих колебаний.

Оно отличается от чисто гармонического колебания тем, что амплитуда колебания с течением времени уменьшается (рис. 10). Пунктиром на этом рисунке изображена зависимость амплитуды от времени.

На практике степень затухания характеризуется. логарифмическим декрементом затухания l. l – это натуральный логарифм отношения двух амплитуд затухающего колебания, отличающихся на один период:

Физический смысл логарифмического декремента затухания заключается в том, что этовеличина, обратная числу колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз:

где - это число колебаний, которое успевает совершить колеблющееся тело за время, в течение которого

амплитуда колебаний уменьшается в е раз.