Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений.

Краткие сведения из теории.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ного порядка называется уравнение вида , где F известная функция n+2 переменных, определенная в области DRⁿ⁺², х – неизвестная функция , n – порядок уравнения.

Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения , если она удовлетворяет уравнению:

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной , т.е. уравнения в нормальной форме:

Дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Однако задача об отыскании решения, удовлетворяющего начальному условию

при определенных условиях на правую часть уравнения имеет единственное решение. Справедлива следующая теорема.

Если функция f(x,y) , y=(y₁,y₂,…,y_n), и ее частные производные непрерывны в области DRⁿ⁺¹ , (х,у)=(х,y₁,y₂,…,y_n)D, то на некотором интервале (х₀-h,x₀+h) существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

,

где (х₀,у₀)=(х₀,y₁₀,y₂₀,…,y_n0)D.

Задача Коши для дифференциального уравнения n-ного порядка

может быть сведена к задаче Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая в векторной форме имеет вид

,

где

Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений у_i,1, у_i,2,…, у_i,n координат y_i(x) вектора у(х) в точках х₁,х₂,…,x_N .

Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге-Кутты для систем дифференциальных уравнений , достаточно в расчетных формулох для уравнений первого порядка заменить у, f(x,y), k₁,k₂, k₃, k₄ на Y, F(x,Y), K₁,K₂, K₃, K₄ .

Параметры функции rkfixed(y,x₀,x_end,N,D), вычисляющей решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений n-ного порядка на отрезке [x₀,x_end] c постоянным шагом , имеют следующую структуру:

• вектор-столбец у содержит начальное значение решения в точке х₀.

• x₀, x_end -- границы отрезка интегрирования системы;

• N – число узлов сетки;

• вектор-столбец D содержит выражение для правых частей уравнений системы.

Результаты вычислений функции rkfixed(y,x₀,x_end,N,D) – матрица размерности (N+1)(n+1). Первый столбец матрицы D содержит координаты узлов равномерной сетки, а остальные n cтолбцов – значения искомых решений в узлах сетки , т.е. D^<i+1>=y_i или , что то же самое , х_j=D_j,1, D_j,i+1=Y_i(x_i).

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad , содержащий решение задачи Коши

В документе приведены необходимые комментарии.

О тметим, что здесь напечатаны не все значения У, поскольку их три тысячи.

Задание 3.

Решите задачу Коши

на отрезке [a,b] методом Рунге-Кутты с постоянным шагом h=0.1. Изобразите графики решений, вычисленных с шагами h, 2h, h/2.

Пояснения к выполнению задания №3. Решите задачу Коши

на отрезке [a,b] методом Рунге-Кутты с постоянным шагом h=0.1. Изобразите графики решений , вычисленных с шагом h, 2h, h/2.

Конкретные варианты заданий находятся в конце данных методических указаний.

Порядок выполнения задания № 3.

1. Установите режим автоматических вычислений.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение , равное единице.

3. Присвойте начальное значение решения вектору-столбцу с именем у.

4. Определите правую часть уравнения, присвойте соответствующие выражения элементам вектора-столбца с именем f(x,y).

5. Найдите величину .

6. Вычислите решение , используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N, найденным в предыдущем пункте.

7. Сохраните решение в матрице Y1.

8. Вычислите решение , используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N , найденным по формуле .

9. Сохраните решение в матрице Y2.

10. Вычислите решение , используя функцию rkfixed(y,a,b,N,f) с параметром N , найденным по формуле .

11. Сохраните решение в матрице Y3.

12. Постройте на одном графике все три найденные решения.

13. Оцените погрешности найденных решений по формуле Рунге.

Пример выполнения задания № 3.

Решите на отрезке [0,3] методом Рунге-Кутты с постоянным шагом задачу Коши

Оцените погрешности решений, вычисленных с шагами 0.1 , 0.05, и изобразите графики приближенных решений. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями приведен ниже.

У казание. Переменной N присвойте значение , равное , а компонентам вектора у – значение решения в начальной точке и т. д.

Варианты задания № 1,2.

N		Начальное условие
1	(ex+1)dy+exdx=0	y(0)=0.5
2	y lny + x =0	y(1)=e
3		y(0)=-tg 2
4		y(1)=arctg(2-e)
5		y(0)=1
6		y(/2)=e
7		y(1)=1
8		y(/4)=1
9		y(0)=1
10		y(0)=1/9

Варианты задания № 3.

N	f1(x,y1,y2)	f2(x,y1,y2)	y1(a)	y2(a)	a	b	h
1		sin(y1y2)	1	0	-1	1	0.2
2		sin(x+y1)	0.5	1.5	0	2	0.2
3	x2 y1+y2	cos(y1+xy2)	-1	1	0	4	0.4
4	x2+y22	xy1y2	1	0	0	5	0.5
5			0.2	0	-1	1	0.2
6	sin(x2+y22)	cos(xy1)	0	0	0	4	0.4
7	sin(y2)	cos(y1)	0.5	-0.5	-1	3	0.4
8	x cos(y1+y2)	sin(y1-y2)	-0.6	2	2	5	0.3
9	sin y1 cos2y2	cos y1 cosy2	0	0	-1	3	0.4
10			0.5	1.2	0	1	0.2