Численное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта. Краткие сведения из теории.

Аналитическое выражение для решений дифференциальных уравнений, за исключением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удается получить достаточно редко. В Mathcad нет средств символьного решения уравнений, но достаточно хорошо представлены методы численного решения задачи Коши.

Численное решение задачи Коши состоит в построении таблицы приближенных решений у₁, у₂,…, у_N решения у(х) в узлах сетки х₁, х₂,…, х_N , у(х_i) у_i . Если х_к=х₀+кh к=1,2,…,N, то сетка называется равномерной ( h – шаг метода).

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым , если для вычисления решения в точке х₀+h используется информация о решении только в точке х₀.

Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки точное решение раскладывают по формуле Тейлора в окрестности узла х_i :

Если расчетные формулы численного метода согласуются с разложением по формуле Тейлора до членов порядка h^p , то число р называется порядком метода.

Методом Рунге-Кутты обычно называют одношаговый метод четвертого порядка, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины у_i+1 вычисляются по следующим формулам:

Погрешность метода на одном шаге равна Мh⁴. Практически оценить величину М достаточно сложно. При оценке погрешности обычно используют правило Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом h, а затем – с шагом . Если -- приближение, вычисленное с шагом h, а -- с шагом , то справедлива оценка

За оценку погрешности решения, вычисленного с шагом , принимают величину

В Mathcad для решения задачи Коши на отрезке [x₀,x_end] методом Рунге-Кутты с постоянным шагом предназначена функция rkfixed(y,x₀,x_end,N,D).

Результаты вычислений функции rkfixed -- матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов равномерной сетки х₀,…,х_N=x_end , а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах. Перед обращением к функции rkfixed необходимо присвоить переменной у значение у₀ , переменной х₀ начальное значение аргумента, переменной х_end значение конечной точки отрезка интегрирования, переменной N -- количество узлов равномерной сетки. Переменной D(x,y) присваивается выражение для вычисления правой части f(x,y).

Пояснения к выполнению задания № 2.

Решите на отрезке [x₀,x_end] задачу Коши методом Рунге-Кутты с постоянным шагом. Изобразите графики решений , вычисленных с шагами h, 2h, h/2.

Выполните вычисления для уравнений из задания 4.1. Значения x_end>x₀ выберите самостоятельно. Сравните результаты вычислений задания 2 и задания 1.

Порядок выполнения задания № 2.

1. Установите автоматический режим вычислений.

2. Присвойте переменной ORIGIN значение , равное единице.

3. Присвойте начальное значение решения переменной у_1.

4. Определите правую часть уравнения f(x,y).

5. Вычислите решение , используя функцию rkfixed c параметром N, вычисленным по формуле .

6. Сохраните решение в матрице Y1.

7. Вычислите решение , используя функцию rkfixed с параметром N, вычисленном по формуле

8. Сохраните решение в матрице Y2.

9. Вычислите решение , используя функцию rkfixed с параметром N, вычисленном по формуле

10. Сохраните решение в матрице Y3.

11. Постройте на одном графике все три найденные решения.

12. Оцените погрешности найденных решений по формуле Рунге.

Пример выполнения задания № 2.

Решите задачу Коши на отрезке [0,3] методом Рунге-Кутты с постоянным шагом. Изобразите графики решений , вычисленных с шагом 0.3, 0.6, 0.15. Фрагмент рабочего документа Mathcad с вычислениями и графиками приведен ниже.

ORIGIN:=1

Зададим начальное условие и правую часть уравнения:

Решим задачу Коши на отрезке [0,3] методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом 0.3

Y1- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 11 узлов равномерной сетки на [0,3] , а во втором -- соответствующие значения решения задачи Коши.

Решим задачу Коши на отрезке [0,3] методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом 0.15

Y2- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 21 узлов равномерной сетки на [0,3] , а во втором -- соответствующие значения решения задачи Коши.

Решим задачу Коши на отрезке [0,3] методом Рунге-Кутты с фиксированным шагом 0.6

Y3- матрица, в первом столбце которой содержатся значения 6 узлов равномерной сетки на [0,3] , а во втором -- соответствующие значения решения задачи Коши.

Оценим по Рунге погрешности найденных решений.

Погрешность решения Y2 , вычисленного с шагом h=0.15 не превышает 0.01 . Погрешность решения Y1 , вычисленного с шагом h=0.3 не превышает 0.01 .