3. Решение линейной системы методом простых итераций.

Точные методы решения линейных систем применяют для решения систем относительно небольшой размерности. Для систем большей размерности применяют итерационные методы. Рассмотрим метод простых итераций. Метод состоит в том, что система уравнений Сх = d преобразуется к виду х = Ь+ Ах и ее решение вычисляется как предел последовательности

Преобразовать систему Сх = d к, виду х = b + Ах можно выделив диагональные эле­менты

Для того, чтобы сформировать достаточное условие сходимости метода, нужно ввести понятие нормы. Это понятие позволит оценить степень близости двух векторов (точного и приближенного решения). В частности, если норма разности точного и приближенного решения системы мала , то приближенное решение хорошо аппроксимирует точ­ное решение.

Рассмотрим три способа введения нормы:

Эти определения норм эквивалентны.

Для нормы вектора вводится определение нормы матриц, согласованной с нормой вектора.

Сложнее вычислить норму для второго случая где подкоренное выражение есть максимальное собственное значение матрицы . Вычисление

такой нормы - трудоемкий процесс, но ее можно оценить, используя следующее неравен­ство:

Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие по какой-либо норме матрицы, согласованной с нормой вектора. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие:

где ε - заданная погрешность приближенного решения.

1.4. Пример решения системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных методом простых итераций.

Преобразованная система имеет вид

Указание: Для проверки выполнения достаточного условия сходимости метода можно ограничиться любой из вышеперечисленных норм. Для реализации итерационных вы­числений с векторами в Mathcad удобно использовать описание вектора-столбца прямо­угольной матрицы. В качестве нулевого приближения выбран вектор правых частей пре­образованной системы. Затем вычислены 10 приближений решения, которые сохраняются в матрице х так, что k-е приближение хранится в ее k-том столбце. Для того, чтобы вывес-

ти на экран все найденные приближения, с клавиатура нужно ввести имя матрицы реше­ний х и знак равенства. При выводе на экран больших матриц автоматически открывается

окно с полосой прокрутки. Чтобы вычислить норму вектора щелкните по кнопке \х\ в панели матричных инструментов и введите в помеченной позиции имя вектора.

1.5. Общая теория линейных систем.

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относи­тельно п неизвестных Х₁, Х₂,..., Х_п

Для такой системы справедлива теорема Кронекера - Капелли : для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна (система совместна если она имеет хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Исследовать неоднородную систему - значит установить, является ли она совместной и, если является - найти выражение для общего решения системы.

Применим для исследования метод Гаусса.

расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r<п Такая матрица методом Гаусса сводится к ступенчатому виду.

Получим систему

Затем из данной системы выразим базисные переменные x₁,х₂,...,х_n через свободные переменные x_r+1,x_r+2,...,x_n .

Эти уравнения выражают общее решение системы. Положив свободные переменные равными 0, вычисляем базисные переменные и получаем частное решение исследуемой системы: