4. Реализовать на листе Excel вычисления с большими числами по модулю.

Описание алгоритма быстрого возведения в степень по модулю y=a^x mod N.

Требуется вычислить результат возведения в степень по модулю. Вычисление должно выполняться в целых числах. Вычисление по модулю можно выполнять последовательно, т.е. a^b mod N можно вычислять по шагам следующим образом: 1. a^2=a*a mod N 2. a^3=a^2*a mod N 3. a^4=a^3*a mod N …

b-1. a^b=a^(b-1)*a mod N

Т.Е. После каждого шага приводить по модулю. Аналогично можно применять этот подход к быстрому возведению в степень:

Алгоритм: y=a^x mod N

Начальные присвоения: Y=1 A=a X=x

В цикле выполняем:

if(X – нечетно) then

a)Y=Y*A mod N;

b)X=(X-1)/2;

с)A=A*A mod N.

if(X – четно) then

a)Y=Y; (т.е. оставляем как на предыдущем шаге)

b)X=X/2

с)A=A*A mod N.

Алгоритм завершается при X=0 (на этом шаге A не нужно считать) Ответ: y=Y;

5. Реализовать на листе Excel алгоритм Ферма разложения на множители. n=p*q. Найти p и q по известному n.

Описание алгоритма. В рамках алгоритма мы пытаемся представить n как x²-y², тогда n раскладывается на (x-y)*(x+y). Алгоритм достаточно эффективен при близких сомножителях p и q. Шаг1. Принять x=[sqrt(n)], если n=x² , то x делитель – окончание алгоритма, иначе x=x+1 ([ … ]- обозначает взять целое). Шаг2. Если x=(n+1)/2 – n простое – окончание алгоритма, иначе вычисляем y=sqrt(x²-n). Шаг3. Если y целое, т.е. y²=x²-n,то решение найдено (n=(x+y)*(x-y)), иначе x=x+1 и переходим к шагу 2.

Пример n=1342127

x	x2	x2-n	y=sqrt(x2-n)
1158	1340964	-1163
1159	1343281	1154	33,97058
1160	1345600	3473	58,93216
1161	1347921	5794	76,11833
1162	1350244	8117	90,09439
1163	1352569	10442	102,1861
1164	1354896	12769	113

Т.е. x=1164, y=113. n=(1164+113)*(1164-113)=1277*1051

Варианты задания:

№ пп	Двоичная запись	Быстрое возведение	НОД	Быстрое возведение по модулю	Факторизация
1	16	9^10	1125851 1129913	11^14 mod 111	5810653073 319066187
2	19	9^11	1307491 1316503	12^12 mod 112	5824662901 208613461
3	25	8^12	1678583 1689179	13^11 mod 113	5842265399 339726871
4	16	7^13	1927231 1933033	14^10 mod 114	5858168527 224263319
5	17	6^14	270253 272611	15^14 mod 115	5872408933 363499961
6	26	6^13	385711 387521	11^15 mod 116	5887482301 236246759
7	18	5^14	530819 535121	12^12 mod 117	5905333157 383745989
8	28	4^12	671849 676537	13^11 mod 118	5920578299 252427511
9	27	2^36	851189 854779	14^12 mod 119	5942282681 481531609
10	29	3^23	1025977 1030187	15^12 mod 120	5959258237 420194951

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры «сложных» операций.

2. Приведите примеры «простых» операций.

3. Поясните, что лежит в основе алгоритма быстрого возведения в степень.

4. Назовите задачи, которые можно решить на основе алгоритма Эвклида.

5. Перечислите свойства вычислений по модулю.

6. Произведите следующие вычисления:

7 mod 3 11+9 mod 8

6 mod 3 3-7 mod 8

3 mod 6 3*7 mod 8

-2mod 6 6+2 mod 8

7 mod 7 3+2 mod 8

7. Предложите несколько способов факторизации.

8. Укажите, какое максимальное число необходимо испытывать, если находить множитель некоторого большого числа методом последовательного перебора чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …