3.4. Математическое обеспечение анализа на микроуровне Математические модели на микроуровне

Математическими моделями на микроуровне являются дифференциальные уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поля физических величин. Другими словами, на микроуровне используются модели с распределенными параметрами. В качестве независимых переменных в моделях могут фигурировать пространственные переменные x₁, x₂, х₃ и время t. Характерными примерами моделей могут служить уравнения математической физики вместе с заданными краевыми условиями.

Краевые условия включают в себя начальные условия, характеризующие пространственное распределение зависимых переменных в начальный момент времени, и граничные, задающие значения этих переменных на границах рассматриваемой области в функции времени.

Методы анализа на микроуровне

В САПР решение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными выполняется численными методами. Эти методы основаны на дискретизации независимых переменных — их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках исследуемого пространства. Эти точки рассматриваются как узлы некоторой сетки, поэтому используемые в САПР методы — это сеточные методы.

Среди сеточных методов наибольшее распространение получили два метода: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Обычно выполняют дискретизацию пространственных независимых переменных, т. е. используют пространственную сетку. В этом случае результатом дискретизации является СОДУ для задачи нестационарной или система алгебраических уравнении для стационарной.

В методе конечных разностей алгебраизация производных по пространственным координатам базируется на аппроксимации производных конечно-разностными выражениями. При использовании метода нужно выбрать шаги сетки по каждой координате и вид шаблона. Под шаблоном понимают множество узловых точек, значения переменных в которых используются для аппроксимации производной в одной конкретной точке.

Метод конечных элементов основан на аппроксимации не производных, а самого решения V(z). Но поскольку оно неизвестно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами q_i

U(z) = Q^T(z), (3.16)

где Q^T= (q₁, q₂, … , q_n)^T — вектор-строка неопределенных коэффициентов, (z)— вектор-столбец координатных (иначе опорных) функций, заданных так, что удовлетворяются граничные условия.

При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений U(z). В результате подстановки U(z) в исходное дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязок

(z, Q) = LU(z) -f(z) = L(Q^T(z)) -f(z), (3.17)

из которой требуется найти вектор Q.

Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов:

1) метод коллокаций, в котором, используя (3.17), формируют п уравнений

с неизвестным вектором Q:

L(Q^T(z)) -f(z)=0, i=1,2, …, n,

где п — число неопределенных коэффициентов;

2) метод наименьших квадратов, основанный на минимизации квадратов невязок (3.17) в n точках или в среднем по рассматриваемой области;

3) метод Галеркина, с помощью которого минимизируются в среднем по области невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами.

Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики.

В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии.

Потенциальная энергия определяется как разность энергии деформации тела и работы массовых и приложенных поверхностных сил.