Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

В программах анализа в САПР для решения СЛАУ чаще всего применяют метод Гаусса или его разновидности. Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений. При исключении k-й неизвестной x_k из системы уравнений

АХ = В (3.14)

все коэффициенты a_ij при i> k и j> k пересчитывают по формуле

a_ij:= a_ij-a_ik a_kj/a_kk (3.15)

Исключение п - 1 неизвестных, где п — порядок системы (3.14), называют прямым ходом, в процессе которого матрица коэффициентов приобретает треугольный вид. При обратном ходе последовательно вычисляют неизвестные, начиная с x_n.

В общем случае число арифметических операций для решения (3.15) по Гауссу пропорционально п³. Это приводит к значительным затратам машинного времени, поскольку СЛАУ решается многократно в процессе одновариантного анализа, и существенно ограничивает сложность анализируемых объектов. Можно заметно повысить вычислительную эффективность анализа, если использовать характерное практически для всех приложений свойство высокой разреженности матрицы А в модели (3.14).

Матрицу называют разреженной, если большинство ее элементов равно нулю. Эффективность обработки разреженных матриц велика потому, что не требуются, во-первых, пересчет по формуле (3.15), если хотя бы один из элементов a_ik или a_kj оказывается нулевым, во-вторых, затраты памяти для хранения нулевых элементов. Хотя алгоритмы обработки разреженных матриц более сложны, но в результате удается получить затраты машинного времени, близкие к линейным.

Многовариантный анализ

Одновариантный анализ позволяет получить информацию о состоянии и поведении проектируемого объекта в одной точке пространства внутренних X и внешних Q параметров. Очевидно, что для оценки свойств проектируемого объекта этого недостаточно. Нужно выполнять многовариантный анализ, т. е. исследовать поведение объекта, в ряде точек упомянутого пространства, которое для краткости будем далее называть пространством аргументов.

Чаще всего многовариантный анализ в САПР осуществляется в интерактивном режиме, когда разработчик неоднократно меняет в математической модели те или иные параметры из множеств X и Q, выполняет одновариантный анализ и фиксирует полученные значения выходных параметров. Подобный многовариантный анализ позволяет оценить области работоспособности, степень выполнения условий работоспособности, а следовательно, степень выполнения ТЗ на проектирование, разумность принимаемых промежуточных решений по изменению проекта и т. п.

Цель статистического анализа — оценка законов распределения выходных параметров и (или) числовых характеристик этих распределений. Случайный характер величин у_j обусловлен случайным характером параметров элементов х_i поэтому исходными данными для статистического анализа являются сведения о законах распределения х_i. В соответствии с результатами статистического анализа прогнозируют такой важный производственный показатель, как процент бракованных изделий в готовой продукции.

В САПР статистический анализ проводится численным методом — методом Монте-Карло (статистических испытаний). В соответствии с этим методом осуществляется N статистических испытаний, каждое статистическое испытание представляет собой одновариантный анализ, выполняемый при случайных значениях параметров-аргументов. Эти случайные значения выбирают в соответствии с заданными законами распределения аргументов х_i. Полученные в каждом испытании значения выходных параметров накапливают, после N испытаний обрабатывают, что дает следующие результаты:

• гистограммы выходных параметров;

• оценки математических ожиданий и дисперсий выходных параметров:

• оценки коэффициентов корреляции и регрессии между избранными выходными и внутренними параметрами, которые, в частности, можно использовать для оценки коэффициентов чувствительности.