3.2. Аннуитет

«Ничто не приносит людям большей

удовлетворенности содеянным, чем

способность выполнить практически

невозможное, даже если это и

делается крайне неудачно».

Питер Ф. Драккер

Существует много задач, связанных с расчетом будущей или сегодняшней стоимости накопленной суммы при условии ежегодных вкладов равными суммами. Аннуитет — это серия выплат (вкладов) равными сум­мами через равные промежутки времени (каждая выплата происходит в конце временного промежутка, вклад – в начале).

Для определения будущей стоимости накопленных ежегодных равных вкладов А через n лет при норме доходности (процентной ставке) r используется следующая формула:

= =

= = , (3.6)

Будущая стоимость аннуитета в 1 руб. или множитель сложного процента для аннуитета ( ) при разных значениях r и n приведена в табл. 2 Приложения. Применение этой таблицы значительно упрощает расчет будущей стоимости вкладов (выплат) в виде аннуитетов.

Пример 3.7. Сидоров решил каждый год в течение 4 лет вкладывать в Сбербанк 4000 руб. под 15 % годовых с целью накопления денег для покупки мебели. Какую сумму получит Сидоров через 4 года?

Применив уравнение 3.6, получим следующее значение накопленной суммы денег за 4 года

F₄ = 4000 × ((1 + 0,15)⁴ - 1) / 0,15) = 19973,6 руб.

Обратное значение выражения 3.6 позволяет определить аннуитет при заданной процентной ставке r и накопленной сумме платежей в течение периода времени n. В этом случае выражение r/[(1+r)ⁿ -1] называется множителем накопительного фонда. Величина платежей в накопительный фонд определяется как

A = F×{r / [(1+r)ⁿ – 1]}. (3.7)

Пример 3.8. Определить аннуитет с целью аккумулирования средств, необходимых для погашения через 5 лет кредита в сумме 200000 руб., полученного сегодня сроком на 5 лет под 9 % в год. Платежи в накопительный фонд производятся один раз в год.

A = F₅ × {r / [(1 + r)ⁿ – 1]} = 200000 × {0,09 / [(1 + 0,09)⁵ – 1]} =

= 200000 × 0,1671 = 33420 руб.

Во многих случаях возникает необходимость определения суммы вкладываемых сегодня денежных средств, чтобы через определенный промежуток времени при известной процентной ставке получить заданную будущую стоимость.

Пример 3.9. Вы решили сегодня отложить часть своего заработка, чтобы через год иметь возможность оплатить свое обучение в течение двух семестров в политехническом университете. Стоимость обучения равна 24200 руб. за год. Процентная ставка по депозиту в банке равна 10 % в год при сложном начислении процентов. Сколько требуется внести денежных средств на депозитный счет, чтобы Вы имели возможность оплатить за свое годовое обучение в вузе спустя один год?

Р = 24200 / (1 + 0,1) = 22000 руб.

Обобщенная формула для расчета приведенной стоимости денежных средств, которые будут получены в будущем через n лет, выводится из уравнения 3.3:

P = F_n /(1+r)ⁿ (3.9)

Значение 1/(1+r)ⁿ называется фактором приведенной стоимости 1 руб. и в табл. 3 Приложения приведены величины этих факторов для разных показателей r и n. Использование табличных данных облегчает расчеты приведенной стоимости будущего денежного потока.

Пример 3.10. Определить сегодняшнюю стоимость 55000 руб., которые получит Иванов через три года при условии стоимости капитала на финансовом рынке, равном 8 %. Для решения примера используем данные табл. 3 Приложения.

P = 55000 × 0,7938 = 43659 руб.

Пример 3.11. Предположим, что Сидоров через 4 года получит 55000 руб., тогда сегодняшняя стоимость этой будущей суммы будет равна:

P = 55000 × 0,735 = 40425 руб.

Пример 3.12. В примере 3.10 изменим процентную ставку с 8 до 10% и рассчитаем величину приведенной стоимости 55000 руб., которые будут получены через 4 года.

P = 55000 × 0,683 = 37565 руб.

Таким образом, увеличение коэффициента дисконтирования, то есть процентной ставки с 8 до 10 %, снижает величину приведенной стоимости, получаемых через 4 года 55000 руб. с 40425 до 37565 руб.

Достаточно часто инвестор желает знать сумму, которая должна быть инвестирована сегодня с целью обеспечения в будущем платежей в виде аннуитета в течение определенного периода. Например, родители хотели бы сегодня вложить некоторую сумму денег Р на депозитный счет под определенный процент сроком на t лет, чтобы затем в течение ряда лет (скажем, 4 года) ежегодно вносить плату за обучение своего сына в вузе. Предположим, что плата за обучение в вузе равна 30 тыс. руб. в год. По депозитному вкладу банк начисляет ежегодно доход в размере 10 %.

Денежные потоки для рассматриваемого случая представлены на рис. 3.3.

30000 30000 30000 30000

t, годы

0 1 2 3 4

P

Рис. 3.3. Диаграмма денежных потоков для оплаты обучения

Один из методов решения данной задачи – это ее декомпозиция на 4 небольшие задачи по определению приведенной стоимости платежей, которую нужно вложить сегодня на один год, затем на два год и т.д.

1. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через год на счету были 30 тыс. руб. (результаты округлены до рубля)?

Р = 30000 / (1 + 0,1) = 27273 руб.

2. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через два года на счету были 30 тыс. руб.?

Р = 30000 / (1 + 0,1)² = 24793 руб.

3. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через три года на счету были 30 тыс. руб.?

Р = 30000 / (1 + 0,1)³ = 22539 руб.

4. Сколько нужно вложить сегодня денежных средств, чтобы через четыре года на счету были 30 тыс. руб.?

Р = 30000 / (1 + 0,1)⁴ = 20490 руб.

Общая сумма денежных средств, которая должна быть вложена на депозитный счет равна

Р = 27273 + 24793 + 22539 + 20490 = 95095 руб.

В общем виде техника расчета может быть представлена в следующем виде:

. (3.10)

Выражение называется множителем приведенной стоимости аннуитета, и его показатели с точностью до четырех знаков после запятой для разных значений r и n приведены в табл. 4 Приложения. Если при расчетах необходимо получить большую степень точности, то для этого необходимо использовать формулу (3.10). Если инвестора удовлетворяет меньшая точность, то удобнее пользоваться данными вышеуказанной таблицы, и величину приведенной стоимости будущих аннуитетов можно определить по формуле:

Р = А×(Т4, r, n). (3.11) В приведенной формуле по таблице 4 Приложения на пересечении столбца с r % и строки с n периодом находится значение множителя приведенной стоимости аннуитета, которое умножается на аннуитет.

Если вернуться к условиям вышерассмотренного примера, то сумма денежных средств, которая должна быть внесена на депозитный счет для будущих выплат за обучение будет равна:

Р = 30000×3,1699 = 95097 руб.

Пример 3.13. Сидоров старший вложил сегодня 33123 руб. на депозитный счет в отделение Сбербанка с тем, чтобы внук ежегодно мог брать определенную сумму для проведения летнего отдыха в течение четырех лет. Процентная ставка равна 8 % в год. Какую сумму (равными долями) может брать внук в течение 4 лет?

В табл. 4 Приложения на пересечении столбца «8 %» и строки «4 года» находим значение процентного множителя, который равен 3,3121. Обратная величина этого значения равна 0,30112. Следовательно, величина изъятий в виде аннуитета будет равна:

А = 33123 × (1 / 3,3121) = 33123 × 0,3019 = 10000 руб.

Таким образом, внук Сидорова старшего будет иметь возможность в течение четырех лет ежегодно снимать 10000 руб. для проведения своего летнего отдыха.

Более точное значение аннуитета можно определить из выражения:

А = Р (r (1+r)ⁿ) / ((1+r)ⁿ -1). (3.12)

Значение (r(1+r)ⁿ) / ((1+r)ⁿ -1) или его табличный аналог 1/(Т4, r, n) называют множителем возмещения инвестиций, поскольку он используется при расчете дохода, который должен приносить инвестированный капитал.

Пример 3.14. Компания «VN» взяла кредит в сумме 15000 долл. при условиии выплаты долга ежемесячно равными долями в течение 6 месяцев, и процентов по кредиту - 3 % в месяц (схема начисления – по сложному проценту). Определить сумму ежемесячных выплат по кредиту.

А = 15000×(0,03 (1 + 0,03)⁶) / ((1 + 0,03)⁶ – 1) = 15000 0,1846 =2769 долл.

Пример 3.15. Петрова купила в кредит холодильник стоимостью 20 тыс. руб. Определить месячные выплаты по данному кредиту, если он был получен сроком на 12 месяцев под 1 % в месяц.

А = 20000 × (1 / 11,2551) = 1778 руб.

Бессрочный аннуитет – денежный поток, который инвестор ожидает получать бессрочно. В этом случае число периодов получения денежных потоков в виде аннуитета n стремится к бесконечности, и поэтому множитель приведенной стоимости аннуитета при заданной процентной ставке r определяется как 1 / r. Приведенную стоимость бессрочного аннуитета можно найти из выражения

Р = А / r, (3.13)

Пример 3.16. Определить приведенную стоимость бессрочного аннуитета, равного 12 тыс. руб., если процентная ставка составляет 8 % в год.

Р = 12000/0,08 = 150000 руб.

Достаточно часто денежные потоки имеют переменные значения, как показано на рис. 3.4 (в тыс. руб.).

Рис. 3.4. Переменные по величине денежные потоки

В некоторых случаях такие денежные потоки удобнее выражать в виде эквивалентного аннуитета. Для этого необходимо найти приведенную величину денежных потоков. Примем ставку дисконтирования, равной 10 %, и определим приведенную величину денежных потоков:

P = 50 / (1+0,1)+70 / (1+0,1)² + 100 / (1+0,1)³ + 90 / (1+0,1)⁴ +80 / (1+0,1)⁵ =

= 45,45 + 57,85 + 75,13 + 61,47 + 49,67 = 289,57 тыс. руб.

Величина эквивалентного аннуитета при r = 0,1 и n = 5 годам:

A = 289570 / 3,7908 = 76387 руб.

Представленные на рис. 3.4 денежные потоки эквивалентны денежным потокам в виде аннуитета, равного 76387 руб. в год в течение пяти лет при ставке дисконтирования 10 % в год.

Пример 3.17. Директору ОАО Лямбда г-ну Табееву сегодня исполнилось 30 лет, и он задумался о своем пенсионном обеспечении. Он предполагает получать пенсию с 61 года ежемесячно в сумме 10000 руб.

Первая проблема, с которой сталкивается наш будущий пенсионер – это продолжительность времени получения пенсии. Предположим, что г-н Табеев решил получать пенсию в течение 20 лет. Следующий этап принятия решения – это определение программы организации ежегодных вкладов в пенсионный фонд или в банк. Предположим, что г-н Табеев решил делать вклады в отделение Сбербанка под 6 % в год.

Сумма накопленных денег, которая позволит г-ну Табееву со дня выхода на пенсию ежемесячно получать 10000 руб., определяется на основе выражения (3.10) при условии, что А = 10000 руб., r = 0,06 / 12 = 0,005, n = 20 × 12 = 240:

P₆₀ = 10000 × [((1 + 0,005)²⁴⁰ -1) / (0,005 × (1 + 0,005)²⁴⁰)] = 1395808 руб.

Итак, имея на день выхода на пенсию на своем счету 1395808 руб. наш будущий пенсионер может с 61 года до 80 лет включительно получать пенсию в сумме 10000 руб. в месяц.

Сумма денег, которую г-н Табеев должен ежегодно вкладывать на свой счет в течение 30 лет, имеет форму аннуитета и величина ее определяется по формуле (3.7):

А = 1395808 × (0,06 / ((1 + 0,06)³⁰ – 1)) = 17655 руб.

Если Табеев решает вложить сегодня сумму денег под 6 % в год, которая обеспечит ему необходимые финансовые ресурсы в сумме 1395808 руб., то величина такого вклада равна

Р = 1395808 / (1 + 0,06)³⁰ = 243024 руб.

При расчете суммы накопленных вложений или приведенных значений будущих денежных потоков с использованием сложных процентных ставок временные периоды могут быть равными году, полугодию, кварталу или другому интервалу. Например, при вложении денег в сумме А руб. сроком на n лет под r % в год с начислением процентов один раз в год в конце срока вклад возрастет до:

F_n = A × (1 + r)ⁿ руб.

Если проценты будут начисляться два раза в год, то сумма вклада к концу срока n составит:

F_n = A × (1 + r / 2)²ⁿ руб.

Если проценты будут начисляться m раз в год, то к концу срока n сумма вклада возрастет согласно формуле 3.5 до:

FV_n = A × (1 + r / m)^mn руб.

Предел (1 + r / m)^m ,при стремлении m к бесконечности, равен e^r (е – основание натурального логарифма, равное 2,7183). Выражение e^rn является коэффициентом наращивания вклада при непрерывном начислении процентов. При таком способе начисления процентов вклад в сумме А руб. через n лет возрастет до

F_n = A e^rn руб. (3.14)

В табл. 3.1 показано влияние частоты начисления процентов на величину вклада в сумме 100000 руб. через год при процентной ставке 10 % в год:

Таблица 3.1

Влияние частоты начисления процентов на величину вклада

Частота начисления процентов	Накопленная сумма вклада через год, руб.
Раз в год (m = 1)	110000
Два раза в год (m = 2)	110250
Ежеквартально (m = 4)	110381
Ежемесячно (m = 12)	110471
Непрерывное начисление	110517

Дисконтированное значение PV будущего денежного потока F на основе непрерывной процентной ставки определяется из выражения:

PV = F e^-rn (3.15)

Пример 3.18. Петрову предлагают купить за 196000 руб. финансовый инструмент, который позволит ему через месяц получить 200000 руб. Петров решил принять ставку дисконтирования равной 28 % (доходность альтернативного инвестиционного проекта, от которого он отказывается в пользу данного проекта) при непрерывном начислении процентов. Может ли принять это предложение Петров?

Обозначим F = 200000 руб., r = 28 %, n = 0,083 года. Тогда на основании формулы 3.15 приведенная величина 200000 руб. равна:

PV = 200000 е ^-0,28×0,083 = 200000 × 0,99703 = 195406 руб.

Полученный результат показывает, что рассматриваемое предложение не выгодно для Петрова, поскольку приведенная величина 200000 руб. при непрерывном дисконтировании меньше стоимости финансового инструмента на 594 руб. (16000 – 195406).

Рассмотрим связь процентных ставок при сложном и непрерывном способах начисления процентов. Пусть r₁ – процентная ставка при сложном ее начислении m раз в год, а r₂ - процентная ставка с непрерывным ее начислением. На основе выражений 3.5 и 3.14 мы можем записать:

или .

Отсюда следует, что:

, (3.16)

а значение r₂ равно:

. (3.17)

Уравнение 3.16 позволяет пересчитать процентную ставку, используемую при непрерывном начислении процентов, в ставку, которая используется при сложном начислении процентов m раз в год. Выражение 3.17 позволяет конвертировать процентную ставку при сложном начислении процентов m раз в год в ставку, которая используется при непрерывном начислении процентов.

Пример 3.19. Банк принимает средства на депозитный счет под 12 % в год со сложным начислением процентов два раза в год. ОАО «Пирамида» вложила на этот счет 5 млн. руб. сроком на один год. Определить

а) накопленную сумму денег к концу срока хранения вклада;

б) эквивалентную непрерывную ставку.

Обозначим r₁ = 0,12, n = 1 год, m = 2 и подставим эти значения в 3.5 и 3.17:

а) F = 5000000 × (1 + 0,12 / 2)² = 5618000 руб.

б) r₂ = 2 × ln (1 + 0,12 / 2) = 0,11653 или 11,653 %.

Подставив полученное значение процентной ставки в выражение 3.14, находим наращенную сумму вклада при непрерывном начислении процентной ставки:

F = 5000000 е^0,11653 = 5618000 руб.

Пример 3.20. Банк предоставляет кредит сроком на один год под 10 % в год при условии непрерывного начисления процентной ставки. Определить процентную ставку, если кредит предоставляется с условием сложного начисления процентов, причем проценты начисляются ежеквартально. Примем, что r₂ =0,1, m = 4, n = 1 год. На основе выражения 3.16 находим r₁:

r₁ = 4 × (e^0,1/4 – 1) = 0,10126 или 10,126 %.

Предположим, что сумма кредита равна 1000000 руб. При непрерывном начислении процентов к концу года заемщик должен вернуть банку:

F = 1000000 × е^0,1 = 1105170 руб.

При ежеквартальном начислении процентов сумма кредита равна:

F = 1000000 × (1 + 0,10126 / 4)⁴ = 1105170 руб.

Пример 3.21. Банк предоставил кредит 2 млн. руб. сроком на 5 лет под 12 % в год с условием начисления сложных процентов раз в год. Определить сумму денег, которую должен выплатить заемщик через 5 лет, если начисление процентов будет производиться непрерывно.

r₂ = ln (1 + 0,12) = 0,1133.

F = 2000000 × е ^0,1133 = 2239935 руб.