30.9. Долгосрочные процентные фьючерсы

Наиболее представительным фьючерсный контрактом по долгосрочным процентным ставкам является фьючерсный контракт, торгуемый на Чикагской Торговой Бирже, и в основе которого лежат казначейским облигации. В основе такого контракта может лежать любая правительственная облигация со сроком погашения более 15 лет на первый день месяца поставки и не подлежащая погашению в течение 15 лет с этого дня. Ниже мы покажем, как биржа выработала процедуру для корректировки цены, полученной стороной, продающей облигации, с учетом особенностей поставляемых облигаций.

Казначейские обязательства и 5-летние фьючерсные контракты по казначейским обязательствам также активно участвуют в торгах. Во фьючерсном контракте по казначейским обязательствам, любая правительственная облигация (или обязательство) со сроком погашения между 6,5 и 10 годами, может быть выставлена на торги. Как и в случае с фьючерсным контрактом по казначейским облигациям, существует путь корректировки цены полученной заёмщиками, согласно выставленной особой облигации. В 5-летнем фьючерсном контракте по казначейским обязательствам, любое из 4-х последних проданных казначейских обязательств может быть выставлено на торги.

Котировочная цена облигации

Цены на казначейские облигации на фондовых биржах США котируются (регистрируются на бирже) в долларах и 32-х частях доллара. Например, цены могут котироваться для облигаций с номинальной стоимостью 100, или 1000, или 100000 долл. Так, зарегистрированная на бирже котировка 90-08 означает, что цена для облигации с номинальной стоимостью 1000 долл., равняется 902,5 долл.

Цена котировки это не то же самое, что наличная цена облигации, которая выплачивается покупателем. Между наличной ценой облигации P_C и ценой котировки P_Q существует следующая связь:

P_C = P_Q + R_AcC, (30.21)

где P_C - наличная цена облигации; P_Q - цена котировки облигации; R_AcC - накопленный процент со времени последней купонной выплаты.

Чтобы проиллюстрировать эту формулу, предположим, что сейчас 5.03.2005 г. и предлагается 11 % купонная облигация со сроком погашения 10.07.2015 г. с ценой котировки 95-16 (или 955 долл.) и выплатой купонного дохода дважды в год. Предположим, что последний купонный доход выплачивался 09.01.2005 г. и следующая выплата по купону будет произведена 09.07.2005 г. Число дней между 09.05.2005 г. и 05.03.2005 г. равно 55, в то время как число дней между 09.01.2005 г. и 09.07.2005 равно 181. Для облигаций с номинальной стоимостью 1000 долл. купонная выплата 09.01 или 09.07 равна 55 долл. Накопленный процент на 5.03.2005 г. – это доля купонных начислений владельцу облигации на 09.07 и вычисляется как:

55 × 55 / 181 = 16,71 долл.

Следовательно, наличная цена облигации номинальной стоимостью 1000 долл. на 09.07.2005 г. будет равна:

955 + 16,71 = 971,71 долл.

Таким образом, наличная цена облигации номиналом в 1000 долл. равна 971,71 долл.

Цены на фьючерсы по казначейским облигациям котируются так же, как цены на сами казначейские облигации. Например, если цена поставки за декабрьский контракт на 02.10.2006 г. была 98-20 или 986,25 долл., и один контракт включает поставку облигации номиналом в 100000 долл., то изменение цены котировки фьючерса на 1 долл. приведет к изменению стоимости контракта на 100 долл. Поставка может иметь место в любой момент месяца поставки.

Коэффициенты пересчета

Как уже упоминалось, условие фьючерсного контракта, в основе которого лежит долгосрочная казначейская облигация требует для стороны с короткой позицией поставки любой облигации со сроком погашения более 15 лет и не подлежащая выкупу в течение 15 лет. При поставке такой облигации стороне с короткой позицией особую роль играет коэффициент пересчета, с помощью которого определяется сумма, подлежащая выплате по облигации участнику фьючерсного контракта с короткой позицией. Котировочная цена облигации, пригодная для поставки, определяется как произведение котировочной цены фьючерса и коэффициента пересчета. С учетом накопленного процента, мы имеем следующую связь для каждых 1000 долл. номинальной стоимости облигации, поставленной по фьючерсу:

P_SH = P_QF × K_Con + R_AcC, (30.22)

где P_SH - наличные, полученные участником контракта с короткой позицией; P_QF – котировочная цена фьючерса; K_Con - коэффициент пересчета для поставленной облигации; R_AcC - накопленный процент по поставленной облигации.

По каждому контракту поставляется облигации общей номинальной стоимостью 100000 долл. Предположим, что котировочная цена фьючерса равна 90-00, коэффициент пересчета по поставленной облигации – 1,385, и накопленный процент на эту облигацию ко времени поставки равен 35 долл. для каждых 1000 долл. номинала. Наличные, полученные стороной с короткой позицией после поставки облигации (выплаченные стороной с длинной позицией, когда он получил облигацию) равны:

P_SH = 1,385×900 + 35 =1281,5 долл. для каждых 1000 долл. номинала.

Таким образом, сторона с короткой позицией после поставки им облигаций номиналом 100 000 долл. получит от участника контракта с длинной позицией 128 150 долл.

Коэффициент пересчета для облигации равен стоимости облигации на первый день месяца поставки, предполагая, что процентная ставка по всем срокам погашения равна 8 % в год (купонный доход выплачивается по полугодиям, и расчеты ведутся по сложному проценту). Срок погашения облигации и сроки купонных выплат округляются в меньшую сторону на ближайшие 3 месяца для удобства расчета. Это даёт возможность фондовой бирже создавать исчерпывающие таблицы. Если после округления срок обращения облигации точно делится на полугодие, то оплата дохода по первому купону осуществляется через 6 месяцев. Если после округления срок погашения не делится точно на 6 месяцев облигация (например, дополнительные 3 месяца), то первый купонный доход оплачивается через три месяца с вычетом накопленных процентов.

Пример 30.20. Рассмотрим 12 % купонную облигацию со сроком погашения 25 лет и 1 месяц. Для удобства подсчёта фактора конверсии допустим, что её срок погашения ровен 25 годам. Первую купонную выплату предполагается сделать через 6 месяцев. Купонные выплаты предполагается делать с шестимесячными интервалами до конца срока обращения облигации, то есть в течение 25 лет, когда будет сделана выплата номинала облигации.

Мы будем работать с облигациями номиналом в 1000 долл. Предполагая, что ставка дисконтирования равна 8% в год, приведенная стоимость будущих денежных потоков (то есть из расчёта 4% каждые 6 месяцев) будет равна стоимости облигации:

долл.

Разделив полученный результат на номинал облигации, получаем коэффициент перерасчета по кредиту, который равен 1,4296.

Пример 30.21. Рассмотрим 13 % купонную облигацию со сроком погашения 20 лет и 4 месяца. Купонный доход выплачивается дважды в год. Для удобства вычисления коэффициента пересчета допустим, что срок погашения равен 20 годам и 3 месяцам. Ставка дисконтирования принимается равной 8 % в год (4 % на 6 месяцев). Сумма дисконтированных денежных потоков, генерируемых облигацией в течение всего срока его обращения, с приведением всех выплат обратно к точке времени через 3 месяца от сегодняшнего дня, определит стоимость облигации:

долл.

Процентная ставка за трёхмесячный период равна:

1,0198 %.

Следовательно, дисконтирование обратно к сегодняшнему дню даёт стоимость облигации, равную:

1559,83 / 1,0198 = 1529,55 долл.

После вычитания накопленного процента за три месяца, равного 32,5 долл., стоимость облигации будет равна 1497,05 долл. Следовательно, коэффициент пересчета равен 1,4971

Выбор наиболее дешевых по поставке облигаций по фьючерсу

На фондовых биржах, которые выполняют операции по процентным фьючерсам, в любой момент времени могут поставляться по фьючерсным контрактам свыше двух десятков различных облигаций. Они представлены по всему спектру купонов и срокам погашения. Сторона с короткой позицией по фьючерсному контракту может выбрать для поставки самую дешёвую из доступных облигаций. Поскольку продавец фьючерсного контракта получает (см. формулу 30.22):

P_SH = P_QF × K_CON + R_Acr,

то стоимость покупаемой облигации равна:

P_B = P_QB + R_Acr,

где P_QB – котировочная цена облигации.

Поэтому наиболее дешевая для поставки облигация, для которой значение ΔP_B = P_QB - P_QF × K_CON будет наименьшим.

Пример 30.22. Сторона с короткой позицией решила поставить облигации по контракту и для этого выбирает из трех облигаций ту, которая будет иметь для него наиболее дешевой. Данные по этим облигациям приведены в табл. 30.11.

Допустим, что текущая цена котировки фьючерсного контракта равна 93-08 (93 ) или 93,25. Стоимость поставки каждой из облигаций следующая:

Облигация 1: 99,50 – (93,25 × 1,0382) = 2,69;

Облигация 2: 143,50 – (93,25 × 1,5188) = 1,87;

Облигация 3: 119,75 – (93,25 × 1,2615) = 2,12.

Облигация 2 является наиболее дешевой для поставки ее стороне с длинной позицией.

Таблица 30.11

Цена и коэффициенты пересчета облигаций

Облигация	Цена котировки	Коэффициент пересчета
1	99,50	1,0382
2	143,50	1,5188
3	119,75	1,2615

Ряд факторов определяет наиболее дешевую по доставке облигацию. Когда доход по облигации превышает 8 % в год, фактор конверсии оказывает предпочтение поставке облигаций с низким купонным доходом и с большим сроком обращения. Когда доход менее 8 %, появляется тенденция поставки облигаций с высоким купонным доходом и не большим сроком обращения. Когда кривая дохода ограниченно повышается, предпочтение оказывается облигациям с большим сроком обращения, в то время как когда она ограниченно понижается, предпочтение отдаётся облигациям с коротким сроком обращения. В итоге некоторые облигации имеют тенденцию продаваться за большую цену, чем их теоретическая, стоимость.

Определение цены фьючерса

Теоретическую цену фьючерса, в основе которого лежат облигации, трудно определить, поскольку сложно оценить выбор стороны с короткой позицией времени поставки базовой облигации и выбор самой поставляемой облигации. Однако, если допустить, что нам известны самая дешевая по поставке облигация и дата ее поставки, то фьючерсный контракт, в основе которого лежат облигации, можно рассматривать как фьючерсный контракт, в основе которого лежат ценные бумаги, обеспечивающих держателю известный доход. Уравнение 24.7 из главы 24 показывает в таком случае, что цена фьючерса (F), соотносится со спот ценой облигации (S) в виде уравнения:

(30.23)

где F – наличная цена фьючерса; S – наличная цена облигации; I – приведенная стоимость купонных доходов в период жизни фьючерсного контракта; Т – дата погашения фьючерсного контракта; t – текущее время; r – безрисковая процентная ставка относящаяся к периоду между t и T.

Процедура определения цены фьючерсного контракта следующая:

1. На основе котировочной цены облигации определяется ее наличная цена с условием наиболее дешевой поставки облигации.

2. Используя формулу (30.23), на основе наличной цены базовой облигации рассчитывается наличная цена фьючерса.

3. На базе наличной цены фьючерса определяется ее котировочная цена.

4. разделить котировочную цену фьючерса на коэффициент пересчета, чтобы определить разницу между облигацией с наиболее дешевой поставкой и облигацией со сроком обращения 15 лет и купонным доходом 8 % год (мы принимаем такую облигацию в качестве стандартной облигации).

Выплата Выплата Исполнение

по купону по купону фьючерса

Выплата

60 дней t₀ 122 дня 148 дней 35 дней по купону

Рис. 30.7. График выплат купонного дохода по облигации, лежащей в