30.7. Процентные фьючерсы
Если будешь молчать и слишком долго глотать слова,
даже истина может устареть и оказаться некстати.
Афоризм. Древний Египет.
Фьючерсный контракт по процентной ставке – это фьючерсный контракт, в основе которого лежит актив, цена которого зависит исключительно от уровня процентной ставки. В этой главе мы опишем механизм работы фьючерсных контрактов по процентным ставкам и процесс согласования цен. Мы также объясним, как связаны цены на фьючерсы со спот ценами, и рассмотрим стратегию хеджирования, на основе процентных фьючерсов.
Хеджирование рисков компании, связанных с изменением процентных ставок, является более сложным, чем хеджирование её рисков, например, при изменении цен на акции или нефть. Это так, поскольку необходимо предоставлять полное описание уровня процентных ставок в течение целого периода, тогда как цену на нефть можно описать единственным числом. Компания, когда она желает хеджировать свои риски, обусловленные изменением процентной ставки, должна определить не только срок действия нужного хеджа, но и срок действия процентной ставки, к которой он будет применён. Это должно дать такой путь использования нужного процентного фьючерса, который обеспечит максимальный уровень хеджирования процентного риска.
До того, как мы опишем природу фьючерсных контрактов по процентным ставкам, необходимо провести обзор нескольких тем, касающихся структуры процентных ставок по срочности ссуд.
Спот и форвардные процентные ставки
N-годовая спот процентная ставка – это процентная ставка на капиталовложение, которое сделано в период, начинающийся с сегодняшнего дня, и заканчивающийся N-ым годом. Так, 3-х годовая спот ставка - это процентная ставка на капиталовложение на 3 года, 5-ти годовая – на 5 лет и так далее. Рассматриваемое инвестирование должно быть чистым N-годовым инвестированием без промежуточных выплат. Это значит, что все проценты и капитал будут выплачены инвестору в конце N-го года. N-годовую спот ставку также можно рассматривать, как N-годовой бескупонный доход.
Форвардные процентные ставки – это процентные ставки, обусловленные текущими спот ставками на периоды времени в будущем. Чтобы показать, как они считаются, допустим, что спот ставки таковы, как они показаны во 2-м столбце табл. 30.8. Предположим, что ставки бесконечно сложны. Так ежегодная 10 %-я ставка на 1 год означает, что вложив сегодня 1000 руб., инвестор через год получит 1000 e0,1 = 1105,2 руб.; годовая процентная ставка 10,5 % на 2 года означает, что вложив 1000 руб. Сегодня, инвестор получит 1000 e0,105*2 = 1233,7 руб. Через 2 года и так далее.
Таблица 30.8
Спот и форвардные ставки на N-ый год
-
Год (N)
Спот ставка на N-годовое инвестирование (% / год)
Форвардная ставка на N-й год (% / год)
1
10,0
2
10,5
11,0
3
10,8
11,4
4
11,0
11,6
5
11,1
11,5
Форвардная процентная ставка в табл. 30.8 за год 2 составляет 11 %. Это процентная ставка, которая определяется спот ставками за период времени между окончанием первого года и окончанием второго года. Она может быть подсчитана, исходя из того, что спот ставка в первый год составляет 10 % ежегодно и спот ставка за второй года составляет 10,5 % в год. Эта процентная ставка за год 2, будучи объединена с 10 % в год за год 1, даёт 10,5% ежегодно в общем за 2 года.
Чтобы показать, что правильный ответ – 11 % в год, допустим, что мы инвестировали 1000 руб. Процентная ставка в первый год – 10 % и во второй год – 11 % дают доход к концу второго года:
1000е0,1×е0,11 = 1233,65 руб.
Ежегодная процентная ставка 10,5% за два года приносит такой же доход:
1000е0,105×2 = 1233,65 руб.
Этот пример иллюстрирует общий результат, свидетельствующий о том, что когда ставки начисляются непрерывно по сложному проценту, а ставки в последующих временных периодах скомбинированы, то общая эквивалентная ставка – это просто арифметическое среднее всех ставок (10,5 % - это среднее между 10 и 11%). Результат будет приблизительно точен только в том случае, если ставки не рассчитываются непрерывно по сложной процентной ставке.
Форвардная ставка за третий год – это процентная ставка, которая определяется спот ставкой в 10,5% /год за 2 года и ежегодной спот ставкой в 10,8 % за 3 года. Она будет равна 11,4% / год. Это обусловлено тем, что капиталовложение на 2 года в 10,5 % / год вместе с капиталовложением на 1 год в 11,4%/год, даёт в среднем за 3 года 10,8 % в год. Другие форвардные ставки рассчитываются аналогично и показаны в третьем столбце таблицы. В общем, если r – это процентная ставка спот на момент времени т и r* - процентная ставка спот на момент времени т* лет, причём т* > т, то форвардная процентная ставка за период между т и т*, которую мы обозначим ř, будет равна:
ř = (r*t* - rt)/(t* - t) (30.20)
Чтобы проиллюстрировать использование этой формулы, приведем расчет форвардной ставки за четвёртый год по данным табл. 30.7 (t = 3, t* = 4, r = 0,108, r* = 0,11):
Подставив приведенные значения в формулу (30.20), получаем:
ř = (0,11 × 4 – 0,108 × 3) / (4 - 3) = 0,116 или 11,6 %.
Кривая бескупонного дохода
Кривая бескупонного дохода – это кривая, показывающая связь между спот ставками (бескупонный доход) и сроком погашения. На рис. 30.3 показана кривая бескупонного дохода, построенной по данным табл. 30.8. Важно различать кривую бескупонного дохода и кривую дохода для купонных облигаций. В ситуации подобной той, что показана на рис. 30.3, где кривая дохода ограниченно возрастает, кривая бескупонного дохода всегда будет выше кривой дохода по купонным облигациям. Это обусловлено тем, что на доход по купонным облигациям влияет тот факт, что инвестор получает некоторые выплаты до срока погашения облигации и дисконтные ставки, соответствующие дням этих выплат ниже, чем дисконтные ставки, соответствующие дню финальной выплаты.
Рис. 30.3. Зависимость бескупонного
дохода от срока погашения
Аналитики иногда рассматривают эту кривую, связывая форвардные ставки со сроком погашения форвардного контракта. Форвардные ставки могут быть определены так, что они будут соответствовать 3 месяцам или 6 месяцам или любому другому удобному периоду времени. Уравнение 30.20 может быть переписано в виде:
ř = r* + (r* - r) T / (T* - T).
Оно показывает, что если кривая дохода ограниченно возрастает при r*>r, то ř > r*> r, и форвардные ставки выше, чем бескупонный доход. Установив предел, что T* стремится к Т (при том, что r* стремится к r), мы видим, что форвардная ставка для очень короткого периода, начиная с момента Т, равна:
Этот показатель называется мгновенная форвардная ставка со сроком погашения Т.
Рис. 30.4. Кривая
дохода имеет тенденцию ограниченного
повышения
Верхняя линия – кривая форвардной ставки, средняя – кривая ставки бескупонного дохода,
нижняя – кривая ставки дохода по купонным облигациям.
На рис. 30.4 представлены кривая бескупонного дохода, кривая дохода по купонным облигациям и кривая форвардной ставки, когда кривая дохода ограниченно повышается. По вышеуказанным причинам кривая форвардной ставки находится выше кривой ставки бескупонного дохода, которая находится выше кривой ставки дохода по купонным облигациям.
Рис. 30.5.
Кривая дохода имеет тенденцию
ограниченного понижения
Верхняя линия – кривая ставки дохода по купонным облигациям, средняя – кривая ставки
бескупонного доход, нижняя – кривая форвардной ставки.
На рис. 30.5 представлена ситуация, когда кривая дохода ограниченно понижается. Аргументы, аналогичные для ограниченно повышающейся кривой дохода, показывают, что в этой ситуации кривая ставки дохода по купонным облигациям находится выше кривой ставки бескупонного дохода, которая находится выше кривой форвардной ставки.
Определение кривой бескупонного дохода
На практике спот ставки (или бескупонный доход) непосредственно отследить достаточно сложно. Что может быть отслежено – так это цены на купонные облигации. Следовательно, важно знать, как можно получить кривую бескупонного дохода из цен на купонные облигации.
Здесь общепринято использовать подход, известный как метод использования предыдущих результатов (bootstrap method). Для иллюстрации этого метода рассмотрим цены пяти облигаций, которые приведены в табл. 30.9. Поскольку первые три вида облигаций относятся к бескупонным, спот ставки непрерывно начисляемых сложных процентов, соответствующие срокам погашения этих облигаий, могут быть легко подсчитаны.
Таблица 30.9
Основные характеристики шести облигаций
-
Номинал облигации, долл.
Время до срока погашения, лет
Годовой купонный доход, долл.
Цена облигации, долл.
100
0,25
0
97
100
0,50
0
95
100
1,00
0
91
100
1,50
8
96,5
100
2,00
12
102
*Половина установленного купонного должна выплачиваться каждые 6 месяцев.
Первая облигация с ценой 97 долл. через три месяца обеспечивает доход 3% при капиталовложении 97 долл. Следовательно, трехмесячная непрерывно начисляемая процентная ставка в пересчете на год составляет:
4 ln(1 + 3 / 97) = 0,1218 или 12,18% в год.
Аналогично 6-ти месячная ставка составляет:
2 ln(1 + 5 / 95) = 0,1026 или 10,26 % в год.
Ставка на 1 год составляет:
ln(1 + 9 / 91) = 0,0943 или 9,43 % в год.
Четвёртая облигации имеет срок обращения 1,5 года и характеризуется следующими денежными потоками (долл.):
6 мес. 4
1 год 4
1,5 года 104
Из наших ранних вычислений мы знаем, что ставка дисконтирования на выплаты к концу шести месяцев составляет10,26 %, а к концу года – 9,43 %. Мы также знаем цену облигации (96,5 долл.), которая должна равняться приведенной величине всех платежей, получаемой держателем этой облигации. Обозначим 1,5-летнюю спот ставку через R.
Отсюда следует, что:
4 e(-0,1026×0,5) + 4 e-0,0943 + 104 e-1,5R = 96,5.
Из этого выражения следует:
e-1,5R = 0,85635
или:
R = (-ln(0,85635)) / 1,5 = 0,1034
Следовательно, 1,5-летняя спот ставка равна 10,34 %. Это только спот ставка, согласующаяся с шести месячной и годовой спот ставкой и соответствующая данным табл. 4.2.
Двухгодовая спот ставка может быть подсчитана аналогично вышеприведенным расчетам, исходя из информации по пятой облигации в табл. 30.9. Если R – двухгодовая спот ставка, то приведенная стоимость денежных потоков, генерируемых облигацией, равна:
6 e(-0,1026×0,5)+6 e (-0,0943×1,0)+6 e(-0,1034×1,5)+106 e(-2R) = 102.
Отсюда R = 0,1063 или 10,63 % .
На кривой дохода бескупонной облигации расположены пять точек, соответствующие пяти различным срокам погашения. Точки, соответствующие другим средним срокам погашения, могут быть получены линейной интерполяцией.
На рис. 30.6 нанесена кривая бескупонного дохода, которая получена по данным цен пяти облигаций из табл. 30.9. Если бы были доступны другие облигации с большими сроками погашения, можно было бы получить полную временную структуру процентных ставок.
Р
ис.
30.6. Кривая дохода бескупонной облигации
по данным табл.
30.9
Теории временной структуры процентных ставок
Рассмотрим различные теории временной структуры процентных ставок. Простейшая – теория ожидания. Она предполагает, что долгосрочные процентные ставки должны отражать будущие краткосрочные процентные ставки. Более точно, она утверждает, что форвардная процентная ставка, соответствующая определённому периоду, равна ожидаемой будущей спот процентной ставке за этот период.
Другая теория известна, как теория сегментации рынка. Она предполагает, что между кратко-, средне-, и долгосрочными процентными ставками нет и не должно быть никаких связей. Согласно этой теории, различные организации вкладывают деньги в облигации на различные сроки погашения и не меняют их. Краткосрочная процентная ставка определяется спросом и предложением на рынке краткосрочных облигаций, среднесрочная процентная ставка определяется спросом и предложением на рынке среднесрочных облигаций и т. д.
Теория, которая считается наиболее привлекательной, известна как теория предпочтительной ликвидности. Она утверждает, что форвардная ставка всегда должна быть выше, чем ожидаемые будущие спот процентные ставки. Базовое положение, лежащее в основе этой теории гласит, что инвесторы предпочитают сохранять ликвидность своих инвестиций и вкладывают деньги на краткосрочный период. С другой стороны, заёмщики предпочитают брать долгосрочные займы по фиксированным ставкам. Если процентные ставки, предлагаемые банками и другими финансовыми посредниками, были таковы, что форвардные ставки равны ожидаемым будущим спот ставкам, долгосрочные процентные ставки будут равны средним из ожидаемых будущих краткосрочных ставок. При отсутствии стимулов поступать иначе, инвесторы будут стремиться вкладывать деньги на короткий период, а заёмщики будут стремиться брать долгосрочные кредиты.
Тогда финансовые посредники смогут финансировать себя долгосрочными займами по фиксированным ставкам посредством краткосрочных депозитов. Такой подход будет включать чрезмерный риск по процентным ставкам. Пытаясь на практике соотнести интересы вкладчиков и заёмщиков и при этом избежать риска, финансовые посредники повышают долгосрочные процентные ставки относительно ожидаемых в будущем краткосрочных процентных ставок. Это понижает спрос на долгосрочные займы по фиксированным ставкам и стимулирует инвесторов вкладывать свои деньги на депозитные счета на более продолжительный срок.
Теория предпочтительной ликвидности преобладает в ситуации, когда долгосрочные ставки выше, чем среднее из ожидаемых будущих краткосрочных ставок. Это также согласуется с опытными данными, показывающим, что кривая дохода имеет более частую тенденцию к повышению, чем к понижению.