30.6. Товарные фьючерсы

Мошенничество несовместимо с правосудием.

Лишь когда все меряешь правильной мерой,

правосудие торжествует.

Афоризм. Древний Египет_.

Теперь мы переходим к фьючерсным контрактам на товары. Здесь оказывается важным разделять товары, приобретаемые исключительно с целью инвестирования значительной частью инвесторов (например, золото и серебро) и товары для потребления. Выводы по арбитражным сделкам могут использоваться для получения точных фьючерсных цен в случае с товарами-инвестициями. Несмотря на это, получается так, что они могут использоваться только как верхняя граница для фьючерсных цен на потребительские товары.

Золото и серебро

Золото и серебро приобретаются значительным числом инвесторов исключительно с инвестиционными целями. При отсутствии расходов на хранение эти металлы могут быть рассмотрены как аналогичные бездоходным ценным бумагам. Используя ранее введенные обозначения, принимаем S за текущую рыночную стоимость золота. Как следует из уравнения (30.5), фьючерсная цена F задается выражением:

F = Se^{r(T – t)}. (30.9)

Стоимость хранения может быть рассмотрена как отрицательная прибыль. Если U представляет собой приведенную стоимость всех затрат на хранение, которые возникнут в течение жизни фьючерсного контракта, то из уравнения (30.7) следует, что:

F = (S + U)×e^{r(T – t)}. (30.10)

Если затраты на хранение, произошедшие к какому-то моменту, пропорциональны цене товара, то к ним можно относиться как к отрицательному дивидендному доходу. В этом случае, из уравнения (7.10) получаем:

F = S e^{(r + u)*(T – t)}, (30.11)

где u – это годовые затраты на хранение, выраженные как доля рыночной цены.

Пример 30.14. Рассмотрим годовой фьючерсный контракт на золото. Предположим, что годовые затраты на хранение золота составляют 2,0 долл. за унцию, и плата вносится в конце года. Пусть рыночная цена золота равна 608 долл. за унцию, и безрисковая процентная ставка составляет 6,5 % для всех сроков истечения контракта. Следовательно, r = 0,065, S = 608, T – t = 1, и

U = 2e^{- 0,065} = 1,874.

Подставив значение U в уравнение 3.10, мы получим цену фьючерсного контракта F:

F = (608 + 1,874)×e^0,065 = 650,83 долл.

Другие товары

Для товаров, не покупаемых исключительно как инвестиции, необходимо тщательно пересмотреть арбитражные аргументы, приводящие к уравнениям (30.9), (30.10) и (3.11).

Предположим, что вместо уравнения (30.10) мы имеем неравенство

F > (S + U)×e^{r(T – t)} . (30.12)

Чтобы применить его с выгодой, арбитражер должен привести в жизнь следующую стратегию:

1. Взять кредит в сумме S + U по безрисковой ставке и использовать его для покупки одной единицы товара и для оплаты затрат на хранение.

2. Продать один фьючерский контракт на одну единицу товара.

Если рассматривать фьючерский контракт как форвардный контракт, то такая стратегия наверняка приведет к прибыли, равной F - (S+U)×e^{r(T– t)} в момент времени T. Не существует никаких препятствий осуществить вышеуказанную стратегию для любого товара. Если же арбитражер поступит таким образом, проявится тенденция роста S и падения F до того момента, когда условие (30.12) уже не будет выполняться. Заключаем, что условие (30.12) не может быть верным в течение какого-либо значительного промежутка времени.

Далее предположим, что

F < (S + U)×e^{r(T – t)}. (30.13)

Можно с выгодой использовать данное соотношение при помощи стратегии, аналогичной стратегии форвардного контракта на бездивидендные акции, когда цена форварда слишком низка. В то же время, в этой стратегии необходимо продать товар таким образом, чтобы затраты на хранение были бы компенсированы продающей стороне. Обычно, это не является возможным.

В случае с золотом и серебром найдется много инвесторов, которые приобрели товар исключительно для инвестирования. Когда они наблюдают неравенство (30.13) в действии, то найдут, что прибыль могут принести следующие действия:

1. Продать товар, сэкономить затраты на хранение, и инвестировать выручку по безрисковой ставке процента.

2. Купить фьючерсный контракт.

В результате будет получена безрисковая прибыль в момент истечения контракта, равная (S + U)×e^{r(T – t)} - F по отношению к позиции, в которой оказался бы инвестор, если бы он просто удерживал золото или серебро. Следовательно, ни уравнение (30.12), ни уравнение (30.13) не могут оставаться верным сколько-нибудь долго. Если выражение (30.12) и выражение (30.13) не могут оставаться верными в течение длительного промежутка времени, то необходимо принять, что:

F = (S + U)×e^{r(T – t)}.

Для товаров, которые приобретается не с целью инвестирования, данные рассуждения не могут быть использованы. Частные лица и компании, держащие товар на складе, поступают таким образом из-за потребительской ценности товара, а не из-за инвестиционной ценности товара. Они не собираются продавать товар и покупать фьючерсные контракты, так как невозможно употреблять фьючерсные контракты. Поэтому ничто не может помешать действию неравенства (30.13). Так как неравенство (30.12) не может долго сохраняться, то все, что мы можем утверждать по поводу потребительского товара – это:

F £ (S + U)×e^{r(T – t)}. (30.14)

Если затраты на хранение выражены как доля u от рыночной стоимости, то будет получен эквивалентный результат:

F £ Se^{(r + u )×( T – t )}. (30.15)

Когда F < Se^{(r + u)×(T – t)}, пользователи товара должны почувствовать возможные выгоды от физического владения товаром, которые не имеют места в случае обладания фьючерсным контрактом. Эти выгоды могут включать возможности получить прибыль от временного дефицита товара или возможности поддерживать производственный процесс. Такие выгоды иногда называют удобным доходом, производимым товаром. Если известна сумма издержек на хранение и известна приведенная величина этой суммы U, то удобный доход y определяется как:

Fe^{y(T – t)} = (S + U)×e^{r(T – t)}.

Если издержки на хранение одной единицы товара составляют определенную постоянную часть u спот цены товара, то y составит:

Fe^{y(T – t)} = Se^{(r + u)×(T – t)}

или

F = Se^{(r + u – y)×(T – t)}. (30.16)

Удобный доход показывает насколько левая сторона меньше правой стороны в уравнении (30.14) или в уравнении (30.15). Для инвестиционных активов удобный доход должен равняться нулю, иначе наступают арбитражные возможности. На практике обычно фьючерсные цены на медь и сырую нефть уменьшаются по мере истечения срока контракта. Из этого ясно, что удобный доход y превосходит r + u.

Удобный доход отражает рыночные ожидания по поводу будущей доступности товара. Чем больше вероятность того, что будет ощущаться нехватка товара во время жизни фьючерсного контракта, тем выше величина удобного дохода. Если пользователи товара накопили большие запасы, то шансы нехватки товара в ближайшем будущем малы, и удобные доходы будут невысокими. С другой стороны, малое количество запасов приведет к высоким удобным доходам.

Издержки, связанные с поддержанием позиции

Связь между фьючерсными ценами и спот ценами на актив может быть отражена в терминах так называемых издержек, связанных с поддержанием позиции. Эти издержки включают затраты на хранение и проценты, выплачиваемые при финансировании актива, за минусом прибыли, заработанной на активе. Для бездивидендных акций, издержки, связанные с поддержанием позиции, равны r, поскольку нет никаких затрат на хранение, и они не приносят дохода в виде дивидендов. Для биржевых индексов, издержки, связанные с поддержанием позиции, равны (r - q), так как прибыль зарабатывается по ставке q. Для валютных фьючерсов издержки, связанные с поддержанием позиции, составляют (r – r_f); для товарных фьючерсов издержки, связанные с поддержанием позиции, равны (r + u), где u, выражающая затраты на хранение, выражена как доля цены.

Зададим издержки, связанные с поддержанием позиции как c. Для инвестиционных активов фьючерсная цена равна:

F = Se^{c(T – t)}. (30.17)

Для потребительского товара, она составит

F = Se^{(c – y)×(T – t)}, (30.18)

где y – удобный доход.

Форвардный контракт указывает, что поставка должна быть произведена в конкретный день. В связи с этим, установление фьючерсных цен усложняется. Принять ли за срок истечения фьючерсного контракта начало, середину или конец периода поставки? Даже если большинство фьючерсных контрактов закрываются еще до истечения их срока жизни, важно знать, когда будет произведена поставка, чтобы рассчитывать теоретическую фьючерсную цену.

Если фьючерсная цена – возрастающая функция времени, оставшегося до истечения контракта, то из уравнения (30.18) можно видеть, что выгоды от удерживания имущества (включая удобный доход и суммарные затраты на хранение) меньше, чем безрисковая ставка процента. Тогда обычно оптимальным решением для стороны поставщика будет произвести поставку как можно раньше. В этом случае, процент, заработанный на полученные наличные деньги, перевесит выгоды от удерживания имущества. Общим правилом считается вычисление в подобных обстоятельствах фьючерсных цен на основе того, что доставка будет произведена в начале периода доставки. Если фьючерсные цены уменьшаются по мере приближения срока истечения контракта, то обратное верно: обычно оптимальным является стороне-поставщику произвести поставку как можно позднее, и тогда фьючерсные цены, по общему правилу, должны рассчитываться в предположении о поздней поставке.

Фьючерсные цены и ожидаемая в будущем спот цена

Один из часто поднимаемых вопросов состоит в том, равна ли фьючерсная цена на актив ожидаемой его спот цене. Если бы нам пришлось гадать, какова будет цена на товар через 3 месяца, была бы наша оценка непредубежденной? Джон Мейнард Кейнс и Джон Хикс в тридцатых годах спорили о том, что если хеджеры обычно занимают позиции на понижение, а спекулянты – на повышение, то фьючерсная цена будет меньше ожидаемой будущей спот цены. Так случится потому, что спекулянты запрашивают компенсацию за те риски, которым они подвергаются. Они станут торговаться, только в случае ожидания роста фьючерсных цен в будущем. (Хеджеры, с другой стороны, уменьшая свой риск, готовы вступать в контракты, предполагаемый доход от которых немного отрицателен.) Если хеджеры обычно занимают позиции на повышение, в то время как спекулянты занимают позиции на понижение, Кейнс и Хинкс доказывали, что фьючерсные цены должны превосходить ожидаемые будущие спот цены активов. Причина – аналогична. Для того, чтобы скомпенсировать риски, которым подвергаются спекулянты, должно быть ожидание того, что фьючерсные цены будут со временем падать.

Ситуация, в которой фьючерсные цены ниже ожидаемых рыночных цен называется нормальный бэкуордейшн (backwardation), а ситуация, в которой фьючерсные цены превышают будущие рыночные цены, называется контанго. Теперь мы рассмотрим факторы, обусловливающие обычный депорт и контанго с точки зрения количественного соотношения между риском и доходом на рынках капитала.

Риск и доход

Обычно, чем выше риск инвестиции, тем выше доход, ожидаемый инвестором. Читатели, знакомые с моделью оценки капитала, вспомнят, что в экономике существуют два типа риска: систематический и несистематический. Несистематический риск не должен волновать инвестора. Этот риск почти полностью исключается в случае хорошо диверсифицированного портфеля. Инвестор потому не должен требовать более высокий доход за несистематический риск. Систематический риск, напротив, не может быть исключен диверсификацией. Он появляется из-за корреляции между доходами от инвестиций и доходами от рынка ценных бумаг как целого. В общем и целом, инвестор требует более высокий ожидаемый доход, чем обеспечивает безрисковая ставка процента, за подверженность систематическому риску. Также инвестор готов принять меньший ожидаемый доход, чем безрисковая ставка процента, в случае отрицательного систематического риска.

Риск во фьючерсной позиции

Рассмотрим спекулянта, принявшего длинную позицию по фьючерсу с надеждой, что цена актива превзойдет фьючерсные цены к моменту истечения контракта. Предположим, что спекулянт помещает сумму средств, равную приведенной стоимости фьючерсной цены, под безрисковый процент, и в то же самое время занимает длинную позицию по фьючерсу. Предположим, что рассматриваемый фьючерсный контракт, по сути, есть форвардный контракт. Доход от безрисковой инвестиции используется с целью покупки актива в день поставки. Затем актив немедленно продается по его рыночной стоимости. Это означает, что денежные потоки спекулянта равны:

в момент времени t: - Fe^{- r(T – t)};

в момент времени T: + S_T,

где S_T – это цена актива в момент T.

Приведенная стоимость инвестиции составляет:

- Fe^{- r(T – t)} + E( S_T )×e^{- k(T – t)},

где k – это подходящая для инвестиции дисконтная ставка (например, ставка ожидаемого дохода, требуемого инвесторами) и E обозначает ожидаемую стоимость. Полагая, что все инвестиционные возможности на рынке ценных бумаг имеют нулевую нетто приведенную стоимость, мы можем записать:

- Fe^{- r(T – t)} + E(S_T)×e^{- k(T – t)} = 0

или

F = E(S_T)×e^{(r - k)×(T – t)}. (30.19)

Значение k зависит от величины систематического инвестиционного риска. Если S_T не скоррелировано с уровнем рынка акций, то инвестиции имеют нулевой систематический риск. В этом случае, k = r, и уравнение (30.19) показывает, что F = E(S_T). Если S_T положительно скоррелировано с рынком акций в целом, то инвестиции обладают положительным систематическим риском. В этом случае, k > r, и уравнение (30.19) показывает, что F < E(S_T). И, наконец, если S_T имеет отрицательную корреляцию по отношению к рынку акций, то инвестиции обладают отрицательным систематическим риском. Это означает, что k < r, и уравнение (30.19) показывает, что F > E(S_T).

Если F = E(S_T), то фьючерсные цены будут дрейфовать вверх или вниз только тогда, когда рынок изменяет свои перспективы в отношении ожидаемых в будущем спот цен. На продолжительном отрезке времени, мы можем не без оснований полагать, что рынок пересматривает свои ожидания по поводу будущих спот цен с одинаковой вероятностью как вверх, так и вниз. Следовательно, когда F = E(S_T), средний доход от удерживания фьючерсных контрактов в течение длительного времени должен равняться нулю. Ситуация F < E(S_T) соответствует положительному систематическому риску. Так как фьючерсные и спот цены должны быть равны в момент истечения фьючерсного контракта, подразумевается, что фьючерсная цена должна в среднем дрейфовать вверх, и торговец должен получить положительный доход от постоянного удерживания длинных фьючерсных позиций. Аналогично, ситуация F > E(S_T) подразумевает, что торговец на длительном промежутке времени сможет получить положительный доход, если будет постоянно удерживать короткие фьючерсные позиции.