Контрольные вопросы и задачи к гл. 28

1. В чем разница между опционами по выбору и с форвардным стартом?

2. Рассмотрите опцион по выбору, по которому его держатель имеет право выбора между опционом колл и опционом пут в любое время в течение двух лет. Дата исполнения опционов и их страйк цены остаются неизменными вне зависимости от момента времени, когда держатель опциона делает свой выбор. Будет ли оптимальным решение держателя опциона, если он сделает выбор между опционами колл и пут до окончания двухлетнего периода? Объясните свой ответ.

3. Определите цену европейского валютного опциона колл «с оглядкой назад» при следующих условиях: срок исполнения опциона 1год, исходный обменный курс 1,8, внутренняя безрисковая процентная ставка 7 % в год, иностранная безрисковая процентная ставка 10 % в год, волатильность обменного курса 20 % в год.

4. Как должна определяться цена опциона с форвардным стартом, в основе которого лежат бездивидендные акции, если по условию страйк цена опциона должна быть на 12 % выше цены базисной акции в момент старта опциона?

5. Перечислите особенности азиатских опционов.

6. Почему определение цены среднеарифметического опциона является более сложной процедурой в сравнении с расчетом цены среднегеометрического опциона.

7. Определите цену среднегеометрического опциона пут «с оглядкой назад» американского стиля , в основе которого лежат бездивидендные акции. Срок исполнения опциона 9 месяцев, цена акции 45 долл., страйк цена опциона 42 долл., безрисковая процентная ставка 9 % в год, волатильность цены акции – 30 % в год.

8. В каких случаях эффективно используются опционы, которые предусматривают замену одного базисного актива на другой?

9. Чем отличаются выплаты по сложным опционам колл на пут и опционам пут на колл?

10. Предположите, что страйк цена американского опциона колл, в основе которого лежат бездивидендные акции, увеличивается с темпом g %. Объясните, почему не будет выгодным исполнение опциона раньше наступления срока исполнения, если g < r (r – безрисковая процентная ставка).

Глава 29. Методы оценки американских опционов

Ничего удивительного, что барашки не любят

хищных птиц, но это не причина для того, чтобы

удерживать хищников, не давая им уносить овец.

Фридрих Ницше

29.1. Аналитические методы

Больше всего ценят то, что досталось даром.

Японская поговорка

Метод Блека-Шоулза

Для оценки американского опциона колл, в основе которого лежат акции, по которым в период t выплачивается дивидендный доход D, можно использовать формулу:

(29.1)

где

(29.2)

, (29.3)

(29.4)

(29.5)

N(x) – кумулятивная функция нормального распределения; M(a, b; ρ) – кумулятивная двумерная функция нормального распределения с верхними интегральными ограничениями a и b и коэффициентом корреляции ρ (Приложение 2).

Граничная цена акции I (без учета девидендов) определяется из выражения:

c(I, X, T – t) = I + D – X, (29.6)

где c(I, X, T– t) - стоимость европейского опциона колл с ценой базовой акции, равной I и со сроком исполнения (T- t).

При D  X(1 – e^-r(T-t)) досрочное исполнение американского опциона для инвестора будет невыгодно, и его цена определяеся с помощью формулы Блэка-Шоулза. В этом случае в формуле Блэка-Шоулза цена акции заменяется ценой акции за минусом приведенной стоимости дивидендной выплаты, то есть S – e^-rt.

Пример 29.1. Инвестор предполагает купить опцион колл американского стиля, в основе которого лежат акции компании «And-Ray». Предполагается, что компания выплатит акционерам дивиденды в сумме 4 долл. за акцию. Курсовая цена акции равна 80 долл., страйк цена опциона – 80 долл. за акцию. Срок исполнения опциона 4 месяца, безрисковая процентная ставка 6 % и волатильность цены акции 30 % в год. Следовательно, S = 80, X = 82, t = 0,25 года, T = 0,3333 года, r = 0,06, D = 4,  = 0,30.

По формулам (29.2) и (29.3) находим значения a₁ и а₂.

Граничную цену акции I определяем из выражения (29.6):

с(I, 82, 0,3333 – 0,25) = I + 4 – 82.

Используя алгоритм числового подбора, находим, что I = 80,1173 долл.

Значения b₁ и b₂ находим из выражений (11.4) и (11.5).

По методике, приведенной в Приложении 2, находим и

По данным табл. Приложения 1 находим значения функций N(b₁) и N(b₂):

N(-0,1715) = 0,4319, N(-0,3215) = 0,3739.

Подставив полученные значения в (29.1), определяем цену опциона колл американского стиля:

Расчеты показали, что цена рассмотренного американского опциона колл равна 4,386 долл. Цена подобного европейского опциона колл составляет 3,5107 долл.