28.8. Опционы с активом в иностранной валюте

Деньги приобретают ценность не когда

ими владеют, а когда ими пользуются.

Эзоп, «Басни»

На рынке ценных бумаг торгуются опционы, в основе которых лежат иностранные активы со страйк ценой в местной валюте. Стоимость базисных активов у таких опционов в день исполнения пересчитываются в местную валюту. Например, американский инвестор приобрел опцион колл или пут, в основе которого лежит японский индекс Никкей. В этом случае стоимость опциона в долларах (для инвестора местная валюта) соответственно равна:

(28.51)

(28.52)

где

Стоимость таких опционов в иностранной валюте, например, в японских йенах, можно найти по формулам:

(28.53)

(28.54)

где

Выше приведенные формулы для оценки экзотических опционов, в основе которых лежат иностранные активы, были предложены Райнером (Reiner) в 1992 г. В этих формулах приняты следующие обозначения:

базисные активы, выраженные в иностранной валюте;

X - цена исполнения опциона в местной валюте;

r- внутренняя процентная ставка;

q – непрерывная пропорциональная норма дивидендной доходности базисного актива;

Е – обменный спот курс местной валюты за единицу иностранной валюты;

- обменный спот курс иностранной валюты за единицу местной валюты;

волатильность цены базисного актива;

волатильность местного обменного курса;

волатильность иностранного обменного курса;

коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменным курсом внутренней валюты;

коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменным курсом иностранной валюты;

Пример 28.12. Определить цену опциона колл, в основе которого лежит индекс иностранной биржи, со сроком исполнения через 6 месяцев. Текущий биржевой индекс равен 100 пунктам, страйк цена опциона принята равной 160 пунктам, обменный спот курс местной валюты за единицу иностранной валюты составляет 1,5, внутренняя процентная ставка равна 8 % в год. Волатильность внутреннего обменного курса составляет 12 %, волатильность биржевого индекса равна 20 % в год, норма дивидендной доходности составляет 5 % в год, коэффициент корреляции между изменением биржевого индекса и валютным курсом принят равным 0,45. При принятых нами системе обозначений исходных данных условия задачи можно переписать в следующем виде: = 100, X = 160, T = 0,5, E = 1,5, r = 0,08, q = 0,05, = 0,2, = 0,12, = 0,45.

На первом этапе определяется значение :

.

После этого находим значения d₁ и d₂:

На следующем этапе на основе данных таблицы Приложения 1 методом экстраполяции определяем значения функций N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N (- 0,1567) = 0,4378, N(d₂) = N (- 0,3516) = 0,3626.

Подставив полученные значения в формулу (28.51), находим цену экзотического опциона колл, в основе которого лежат иностранные активы:

пунктов.

Пример 28.13. Рассмотрим пример оценки опциона колл, деноминированного в иностранной валюте. Предположим, что на Фракфуртской бирже торгуются опционы, в основе которых лежат акции ОАО «Норильский никель». Отметим, что в этом случае в качестве местной валюты выступает евро, а иностранной – российский рубль.

Определить стоимость опциона колл со сроком исполнения через 6 месяцев, если стоимость базисной акции ОАО «Норильский никель» в иностранной валюте равна 924 руб. Страйк цена опциона в местной валюте равна 35 евро за акцию, внутренняя процентная ставка составляет 8 % в год, норма дивидендной доходности равна 5 % в год. Обменный спот курс рубля составляет 0,031 евро, а обменный спот курс евро 30.8 рублей. Статистическая обработка данных за предшествующий период позволила получить следующие показатели: волатильность цены акций ОАО «Норильский никель» составила 24 % в год, волатильность обменного курса евро 12 % в год и волатильность обменного курса рубля (иностранной валюты) 15 % в год. Результаты статистической обработки базы данных позволили также установить, что коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменного курса евро на рубли (внутреннего валютного курса) составил 0,54 и коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменного курса рубля на евро (иностранного валютного курса) составил 0.48.

В принятой системе обозначений условия задачи будут иметь следующий вид:

= 924 руб., Х = 35 евро, r = 0,08, q = 0,05, E = 0,031, = 30,8, = 0,24, = 0,12, = 0,15, = 0,54, = 0,48.

Как и в предыдущем примере находим значения , функций N(d₁) и N(d₂). Полученные значения подставляем в формулу (28.53) и находим цену экзотического опциона колл, выраженного в иностранной валюте, то есть в рублях.

N(d₁) = N (-0,4615) = 0,3223, N(d₂) = N (-0,7009) = 0,2417

руб.

Стоимость опционов с фиксированным обменным курсом обычно деноминируются в другой валюте в сравнении с валютой, в которой выражается цена базисного актива. Такие опционы называются кванто опционами. Их особенность заключается в том, что они позволяют снизить риски потерь, связанные с изменением цены базисных активов, стоимость которых выражена в иностранной валюте.

При определении цены опционов колл и пут во внутренней валюте при фиксированном обменном курсе используются следующие формулы:

; (28.55)

. (28.56)

Если цены опционов колл и пут определяются в иностранной валюте при фиксированном обменном курсе, то используются следующие формулы:

; (28.57)

, (28.58)

где ; .

Выше приведенные формулы, которые применяются для оценки опционов кванто, были предложены Дерманом, Каразински и Векером (Derman, Karasinski и Wecker) в 1990 г. Позднее в 1992 г. они были модифицированы Райнером (Reiner) и другими.

В этих формулах применяются следующая система обозначений:

базисные активы, выраженные в иностранной валюте;

- цена исполнения опциона в иностранной валюте;

r- внутренняя процентная ставка;

r_f – иностранная процентная ставка;

q – непрерывная пропорциональная норма дивидендной доходности базисного актива;

Е_р – заранее установленный обменный курс местной валюты за единицу иностранной валюты;

- обменный спот курс иностранной валюты за единицу местной валюты;

волатильность цены базисного актива;

волатильность местного обменного курса;

коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменным курсом внутренней валюты.

Пример 28.14. На Нью-йоркской фондовой бирже торгуются опционы, в основе которых лежат акции ОАО «Северсталь». В этом случае в качестве местной валюты выступает американский доллар, а иностранной – российский рубль.

Определить стоимость кванто опциона колл в местной валюте со сроком исполнения через 6 месяцев. Стоимость базисной акции ОАО «Северсталь» в иностранной валюте 1888 руб., страйк цена опциона в иностранной валюте 2070 руб. за акцию, внутренняя процентная ставка составляет 10 % в год, а российская процентная ставка 8 % в год. Норма дивидендной доходности равна 5 % в год. Обменный спот курс рубля составляет 0,0317 долл., а заранее зафиксированный обменный курс доллара 32 рубля.

Статистическая обработка данных за предшествующий период позволила получить следующие показатели: волатильность цены акций ОАО «Северсталь» составила 20 % в год, волатильность обменного курса доллара (местной валюты) 12 % в год. Результаты статистической обработки базы данных позволили также установить, что коэффициент корреляции между ценой базисного актива и обменного курса доллара на рубли (внутреннего валютного курса) составил 0,4. В принятой системе обозначений условия задачи будут иметь вид: = 1888 руб., = 2070 руб., r = 0,10, r_f = 0,08, q = 0,05, E_p = 0,0317, = 32,0, = 0,20, = 0,14, = 0,40.

Находим значения , функций N(d₁) и N(d₂).

Подставив полученные значения в формулу (28.55), находим цену кванто опциона колл в местной валюте:

долл.

Если необходимо определить цену рассмотренного опциона в иностранной валюте, то применяется формула (28.57).

Резюме

Экзотические опционы - это опционы, использующие более сложные правила определения выплат в сравнении со стандартными опционами. Некоторые из них могут быть рассчитаны с использованием детализированных процедур, разработанных для опционов колл и пут американского и европейского стилей. Другие могут быть рассчитаны аналитически, но с использованием более сложных формул, чем для стандартных опционов. Некоторые требуют применения специальных численных методов.

Опционы американского типа, в которых выплаты зависят не только от изменения во времени стоимости базисных активов, но и от их стоимости на день исполнения опционов, очень сложно поддаются анализу. Если выплаты зависят от одной из функций, характеризующих изменения стоимости базисного актива, и количество альтернативных значений этой функции в узлах дерева растёт не слишком быстро, то для расчёта этих выплат можно адаптировать биномиальное дерево. Например, данный подход может быть использован для расчёта американского опциона «с оглядкой назад» и опциона геометрического среднего.

Некоторые экзотические опционы проще хеджировать, используя соответствующие простые опционы. Вообще легче всего хеджировать азиатские опционы, так как размер выплат определяется со временем всё более точно. Барьерные опционы сложно подвергаются хеджированию, так как показатель дельта вблизи барьера принимает дискретные значения.