28.7. Азиатские опционы

Настоящий мастер управляет активными действиями

неприятеля, подсовывая ему ту ситуацию, в

соответствии с которой он будет действовать.

Сунь-цзы, 4 век до н. э.

Выплаты по азиатским опционам зависят от средней цены базисных активов за период действия опциона. Выплаты с использованием средней цены для опциона колл равны и для опционов пут, где средняя цена базисных активов опциона, подсчитанная за заранее заданный усредненный период. Опционы со средней ценой имеют меньшую стоимость в сравнении с обычными опционами и возможно более привлекательны, чем простые опционы для удовлетворения некоторых нужд корпоративных финансовых менеджеров. Предположим, что финансовый менеджер канадской компании ожидает получить от дочерней компании во Франции денежные поступления в сумме 100 млн. евро, распределенные равными долями в течение следующего года. В этом случае для финансового менеджера будут интересны опционы, которые будут гарантировать условие, когда средний обменный курс в течение года будет выше некоторого уровня. В этом случае может использование опциона пут со средней ценой будет более эффективным в сравнении с обычным опционом.

Другой тип азиатских опционов - это так называемые опционы со средней страйк ценой. Для опционов колл данного типа выплаты равны , а для опционов пут - . Опционы со средней страйк ценой гарантируют, что средняя цена, уплаченная за базисные активы на торгах, будет ниже конечной цены этих активов. В качестве альтернативы опционы такого типа могут гарантировать условие, когда средняя цена, полученная за базисные активы на торгах, будет выше конечной цены этих активов.

Если цена базисных активов подчиняется логнормальному распределению и среднегеометрическое значение всех , то можно воспользоваться аналитическими формулами для подсчёта стоимости европейского опциона со средней ценой. Это обусловлено тем, что среднегеометрическое значение выборки переменных величин, подчиняющихся логнормальному закону распределения, также подчиняется логнормальному закону распределения.

В безрисковой модели это можно показать следующим образом: вероятностное распределение среднегеометрического значения цен базисного актива за определённый промежуток времени такое же, как и распределение курса ценных бумаг с ожидаемым ростом и волатильностью . Таким образом, опцион со среднегеометрической ценой может торговаться как простой опцион с дисперсией, равной и дивидендной доходностью, равной:

.

Для определения стоимости азиатских опционов колл и пут, в основе которых лежат среднегеометрические курсовые цены активов, используются формулы, предложенные Кемна и Ворстом (Kemna and Vorst) в 1990 г.:

(28.35)

(28.36)

где

(28.37)

В формулах (28.37) используются скорректированные показатели волатильности σ_А и цены доставки (b_А), которые определяются из выражений:

где b – норма цены доставки активов, лежащих в основе стандартного опциона.

Пример 28.10. Определить цену азиатского опциона пут, в основе которого лежат активы со среднегеометрической ценой, со сроком исполнения три месяца. Страйк цена опциона – 85 евро, среднегеометрическая цена базисного актива – 80 евро, безрисковая процентная ставка принята равной 5 % в год, волатильность цены базисного актива составляет 20 % в год и цена доставки равна 8 % в год. При принятой системе обозначений исходные данные представляются в следующем виде: S = 80, X = 85, T = 0,25, r = 0,05, σ = 0,2, b = 0,08.

Прежде всего, находим значения скорректированных показателей волатильности и цены доставки:

На следующем этапе, используя формулы (28.37), определяем значения d₁ и d₂:

.

Используя данные таблицы Приложения 1, находим значения функций N(-d₁) и N(-d₂):

Подставив полученные значения b_A, N(-d₁) и N(-d₂) в формулу (28.36), определяем цену азиатского опциона пут, в основе которого лежат активы со среднегеометрической ценой:

евро.

В случае определения цены азиатских опционов в терминах арифметического среднего, аналитических формул для расчета стоимости таких опционов не существует, поскольку распределение среднеарифметической выборки переменных величин, распределённых по логнормальному закону распределения, не обладает свойствами, поддающимися аналитической обработке. Тем не менее, существуют приближенные методы оценки такого типа опционов, например, метод Тернбалла и Вейкмана (Turnbull and Wakman) или метод аппроксимации Леви (Levy).

При применении метода аппроксимации Тернбалла и Вейкмана подсчитываются первые два момента распределения вероятностей среднеарифметического значения цен базисного актива, и затем принимается, что распределение среднеарифметического значения также подчиняется логнормальному закону с подсчитанными первыми двумя моментами.

Точные значения первого и второго моментов определяются соответственно из выражений:

(28.38)

и

. (28.39)

Полученные значения для корректировки показателей дивидендного дохода, равного , и меры изменчивости . Эти показатели рассчитываются на основе формул:

(28.40)

Для определения цены среднеарифметических опционов колл и пут по методу Тернбалла и Вейкмана используются соответственно формулы:

; (28.41)

, (28.42)

где d₁ и d₂ определяются соответственно из выражений:

(28.43)

В формулах (28.40-28.43) выражение Т является продолжительностью срока исполнения опциона, Т₁ – период, за который рассчитывается среднеарифметическое значение цены базисного актива, Т₂ – оставшийся период до исполнения опциона (Т₁ = Т - Т₂). Если опцион действует в периоде, за который определяется среднеарифметическая стоимость базисного актива, то цена исполнения опциона заменяется скорректированным значением страйк цены Х_А, которое определяется из выражения:

Х_А= Х × (Т / Т₂) – S_А × (Т₁ / Т₂), (28.44)

где S_A – среднеарифметическая цена базисного актива за период Т₁. В этом случае стоимость опциона корректируется умножением цены опциона на отношение (Т₂/Т).

Следующий пример иллюстрирует расчет стоимости среднеарифметического опциона колл с применением аппроксимирующего метода Тернбалла и Вейкмана.

Пример 28.11. Определить цену экзотического опциона колл, в основе которого лежит среднеарифметическая цена актива (S_A), равная 100 долл., со сроком исполнения 9 месяцев. Среднеарифметическая цена базисного актива была получена по текущим ценам за первые три месяца с начала действия опциона. Таким образом, до окончания срока действия опциона остается 6 месяцев. Текущая цена базисного актива равна 100 долл., страйк цена опциона принята равной 95 долл. Волатильность цены актива составляет 35 % в год, безрисковая процентная ставк 10 % в год, норма дивидендной доходности равна 5 % в год. При принятой нами системе обозначений перепишем исходные данные в следующем виде:

S = 100, S_А = 100, Х = 95, Т = 0,75, Т₁ = 0,25, Т₂ = 0,5, r = 0,1, q = 0,05, σ = 0,35.

Прежде всего, по формулам (28.38) и (28.39) находим значения М₁ и М₂:

2. Определяем скорректированные значения нормы дивидендной доходности и волатильности:

;

.

3. Используя формулы (28.43), рассчитываем значения d₁ и d₂:

4. По формуле (28.40) определяем скорректированную страйк цену опциона колл:

долл.

5. По данным таблицы Приложения 1 методом экстраполяции находим значения функций N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N(0,5151)=0,6968; N(d₂) = N(0,3711) = 0,6447.

6. Подставив все исходные значения в формулу (28.41), определяем приближенную цену среднеарифметического опциона колл:

долл.

Скорректированная цена рассматриваемого опциона равна:

долл.

Альтернативным выше рассмотренному методу расчета цены азиатского опциона является, как указывалось выше, аппроксимирующий метод, предложенный Леви в 1992 г. Стоимость азиатского опциона колл по методу Леви можно определить по формуле:

, (28.45)

где

(28.46)

(28.47)

(28.48)

(28.49)

Стоимость азиатского опциона пут, в основе которого лежит среднеарифметическая цена базисного актива можно определить из условия паритета опционов пут и колл:

(28.50)

В приведенных выше формулах (28.45) – (28.50) приняты следующие обозначения: S – цена базисного актива; S_A – среднеарифметическая цена базисного актива за определенный период; X – страйк цена опциона; r – внутренняя безрисковая процентная ставка; r_f – зарубежная процентная ставка; Т – первоначальный срок исполнения опциона; Т₂ – оставшийся срок до наступления момента исполнения опциона;  - волатильность натурального логарифма доходности базисного актива; b - норма цены поставки базисного актива. Показатель b определяется как b = r - r_f . Если задается норма дивидендной доходности, то b = r – q.