28.6. Бинарные опционы

Не бросая собственного искусства, гениальные уходят

с проторенной тропы и прокладывают, даже в

профессиях старых как мир, шаги наверх, к славе.

Бальтазар Грациан

Бинарные опционы это экзотические опционы с дискретными выплатами. Простой пример такого экзотического опциона – опцион колл «деньги или ничего» (cash or nothing). По этому опциону либо ничего не выплачивается, если в день исполнения опциона цена базисного актива окажется ниже страйк цены опциона (S  X), или выплачивается денежная сумма М, если текущая цена базисного актива в день исполнения опциона будет выше страйк цены (S  X), то есть когда опцион в деньгах.

Соответственно, по бинарному опциону пут выплаты в сумме М могут производиться, если текущая цена базисного актива в день исполнения опциона будет ниже цены исполнения (S  X), и выплаты будут равны нулю, когда текущая цена базисного актива в день исполнения опциона будет выше страйк цены (S  X). Вероятность того, что цена базисного актива в день исполнения опциона колл будет выше страйк цены опциона равна . Поэтому с учетом принятой системы обозначений цены опционов колл и пут вида «деньги или ничего» будут соответственно равны:

(28.31)

(28.32)

где

Пример 28.8. Определим цену фьючерсного опциона колл «деньги или ничего» со сроком исполнения 9 месяцев. Стоимость фьючерса равна 100 долл., страйк цена опциона равна 80 долл. Показатель волатильности составляет 35% в год, безрисковая процентная ставка равна 6 % в год, сумма выплачиваемых денег равна 15 долл. При принятой системе обозначений исходные данные представляются в следующем виде: S = 100, X = 80, M = 20, T= 0,75, r = 0,06, b = 0,  = 0,35.

Определяем значение d:

Используя метод экстраполяции, по данным таблицы Приложения 1, находим значение функции N(-d):

N(-d) = N(-0,5846) = 0,2794.

Подставив полученное значение N(-d) в формулу (12.31) находим цену бинарного опциона пут:

долл.

Другой тип двойного опциона – это опцион колл «актив или ничего» (asset or nothing). Выплаты по такому опциону не производятся, если цена базисной акции на день исполнения опциона окажется ниже страйк цены опциона, или выплачивается сумма равная курсу акций, если текущая цена базисной акции на день исполнения опциона будет выше страйк цены опциона. Причем выплаты производятся основными активами.

Для оценки бинарных опционов колл и пут используются формулы, предложенные Коксом и Рубинштейном (Cox and Rubinstein) в 1985 г.

(28.33)

(28.34)

где

Пример 28.9. Определим цену бинарного опциона пут «активы или ничего» со сроком исполнения 6 месяцев. Стоимость базовой акции 72 евро, страйк цена опциона равна 65 евро. Показатель волатильности составляет 30 % в год, безрисковая процентная ставка равна 9 % в год, дивидендный доход равен 6 % в год. При принятой системе обозначений исходные данные представляются в следующем виде: S = 72, X = 65, q = 0,06, T= 0,5, r = 0,09,  = 0,35.

Определяем значение d:

Используя данные таблицы Приложения 1, находим значение функции N(-d):

N(-d) = N(-0,6589) = 0,2550.

Подставив полученное значение N(-d) в формулу (28.34) находим цену бинарного опциона пут «активы или ничего»:

евро.