28.4. Опционы «с оглядкой назад»

Не давайте святыни псам и не бросайте жемчуга

вашего перед свиньями, чтобы они не попрали

его ногами своими, обратившись, не растерзали вас.

Евангелие от Матфея, 7:6

Опцион колл «с оглядкой назад» позволяет его владельцу приобрести базисные активы по минимальной цене, достигаемой за период жизни опциона. Соответственно, держатель опциона пут «с оглядкой назад» может продать базисные активы по наивысшей цене, достигнутой за период жизни опциона. Базисными активами данного вида экзотического опциона являются товары и акции.

Выплаты по этому виду опционов зависят от максимального и минимального значения цены базисного актива за время существования опциона. Если минимальная цена базисного актива равна максимальная и на момент закрытия опциона цена базисного актива равна , то выплаты по опциону колл «с оглядкой назад» составят:

.

Выплаты по опциону пут «с оглядкой назад» равны:

Страйк цена таких опционов может быть плавающей и фиксированной. Для расчета цены европейского опциона колл «с оглядкой назад» при плавающей страйк цене используется формула:

(28.21)

где - минимальная стоимость базисного актива, достигнутая в период жизни опциона и

,

(11.22)

,

,

.

Цена европейского опциона пут «с оглядкой назад» рассчитывается по формуле:

(28.23)

где -максимальная цена базисного актива, достигнутая за период жизни опциона и

,

,

, (28.24)

.

Пример 28.7. Определим цену европейского опциона колл «с оглядкой назад» со сроком исполнения 6 месяцев. Предположим, что этот опцион дает право его держателю купить акции, лежащие в основе такого опциона, по минимальной цене, которая может быть зарегистрирована на бирже в течение жизни опциона. Примем, что минимальная цена опциона в предшествующем периоде равнялась 100 долл., текущая цена акции 120 долл., безрисковая процентная ставка равна 10 % в год. Допустим, что дивидендная доходность акции составляет 6 % в год и волатильность стоимости акции равна 30 % в год. При принятой нами системе обозначений перепишем исходные данные в следующем виде:

S = 120, S_min= 100, r = 0,1, q = 0,06, σ = 0,3.

Прежде всего на основе формул (28.22) определяем значения а₁, a₂, a₃ и Y₁:

,

,

,

.

По таблицы 6 Приложения 1 находим значения функций N(a₁), N(-a₁), N(a₂) и N(-a₃):

N(1,0598) = 0,8554, N(-1,0598) = 0,1446, N(0,8713) = 0,8082, N(-0,8713) = 0,1918.

Подставив полученные значения в формулу (28.21), находим цену экзотического опциона колл «с оглядкой назад»:

Так же как и в барьерных опционах при определении цены рассмотренного типа опционов определённую роль играет частота, с которой цена активов будет замеряться для подсчёта максимума и минимума. Приведённые выше формулы справедливы для случая, когда цена измеряется непрерывно.

Для экзотических опционов колл «с оглядкой назад» с фиксированной страйк ценой последняя задается заранее, и выплаты по таким опционам определяют как

max (S_MAX – X, 0),

где S_MAX –максимальная цена базисного актива, отмеченная в период действия опциона и Х – страйк цена опциона.

Соответственно выплаты по экзотическим опционам пут «с оглядкой назад» при фиксированной страйк цене определяются из условия

max (X – S_MIN, 0),

где S_MIN – минимальная цена базисного актива, отмеченная в период действия опциона и Х – страйк цена опциона.

Для определения цены такого типа опционов используется более сложная формула, предложенная Конзе и Висванатаном (Coze and Viswanathan) в 1991 г.

Стоимость опциона колл «с оглядкой назад» определяется по формуле:

(28.25)

где

В случае Х  S_MAX цена такого опциона определяется по формуле:

, (28.26)

где .

Цена опциона пут «с оглядкой назад» при фиксированной страйк цене определяется по формуле:

(28.27)

При условии X  S_MIN стоимость рассматриваемого опциона определяется по формуле:

(28.28)

где

В табл. 28.2 приведены расчетные цены экзотических опционов колл и пут «с оглядкой назад» со сроком исполнения 6 месяцев. Стоимость опционов определялась для опционов с различными фиксированными страйк ценами и волатильностью. Безрисковая процентная ставка (r) и цена доставки (b) приняты равными 10 % в год. Текущая, максимальная и минимальная цены базисного актива принята равной 100 долл., то есть S = S_max=S_min=100 долл.

Таблица 28.2

Цены экзотических опционов колл и пут типа «с оглядкой назад»

Страйк цена (Х), долл.	Цена опциона колл, долл.		Цена опциона пут, долл.
	 = 0,20	 = 0,30	 = 0,20	 = 0,30
95	18,9263	24,9857	4,4448	8,9213
100	14,1702	20,2296	8,3177	13,1579
105	9,8905	15,8512	13,0739	17,9140

Кроме рассмотренных опционов типа «с оглядкой назад» существуют опционы с частичной плавающей страйк ценой и частичной фиксированной ценой. Для опционов с частичной плавающей страйк ценой и сроком исполнения t₂ оговаривается момент времени t₁ (t₁  t₂), когда держатель опциона колл «с оглядкой назад» имеет право купить по минимальной цене, которая была зафиксирована в период от начала действия опциона до t₁. Соответственно держатель опциона пут «с оглядкой назад» имеет право продать базисные активы по максимальной цене в период от начала действия опциона до t₁. Цены таких опционов ниже цен стандартных опционов «с оглядкой назад».