28.3. Опционы с несколькими активами
Мудрецы должны быть подобны сундукам
с двойным дном: когда кто-то подняв крышку,
заглядывает внутрь, ему не открывается все содержимое.
Сэр Ултер Рейли, 1554-1618
Иногда в основе опционов могут лежать два или более базовых активов. Одним из примеров таких опционов является фьючерсный контракт, торгуемый на СВОТ, в основе которого лежат облигации. Сторона с короткой позицией при поставке актива может выбирать между большим количеством различных облигаций.
Если в основе опциона лежат два актива, которые имеют между собой корреляционную зависимость, то стоимость такого опциона может определяться по формулам, предложенным Зангом (Zhang) в 1995 г.
(28.15)
28.16)
где ρ _ коэффициент корреляции между доходностью двух базовых активов, а
(28.17)
Пример 28.5. Определим стоимость опциона колл с двумя базисными активами, срок исполнения которого наступает через 6 месяцев при следующих исходных данных: цена базисной акции компании «And-Ray» – 52 долл., цена второй базисной акции компании «Лямбда» - 65 долл., страйк цена опциона – 50 долл. и уровень выплаты равен 70 долл. Волатильность цены акций компании «And-Ray» составляет 20 % в год и акций компании «Лямбда» 30 % в год. Безрисковая процентная ставка принята равной 10 % и коэффициент корреляции доходности двух базисных акций составляет 0,75.
При принятой системе обозначений исходные данные представим в виде: S1 = 52, S2 = 65, X1= 50, X2= 70, T= 0,5, σ1 = 0,2, σ2 = 0,3, r = 0,1, ρ = 0,75, b1 = b2 =0,1.
По формуле (28.17) находятся значения у1 и у2:
На
следующем этапе, используя Приложение
2, находим значения функций
и
Подставив полученные значения функции М в формулу (28.15), находим стоимость опциона с двумя базисными активами:
долл.
Еще одним типом экзотических опционов является опцион, держатель которого в день исполнения имеет право заменить один базисный актив на другой. Такие опционы называются обменными опционами, и они могут включаться в некоторые финансовые контракты. Например, при поглощении одной компании другой, поглощающая компания может предложить свои акции взамен акций поглощаемой компании. Владелец акций поглощаемой компании приобретает опцион для обмена своих акций на акции поглощающей компании.
Участник с короткой позицией во фьючерсном контракте, в основе которого лежат облигации, также может использовать обменный опцион при исполнении фьючерсного контракта. В этом случае у стороны с короткой позицией имеется возможность выбора из целого класса облигаций для поставки их держателю фьючерса (участнику с длинной позицией).
Выплаты по обменному опциону составляют max (Q1×S1 – Q2×S2; 0). Цена обменного опциона колл определяется по формуле, предложенной Маргрейбом (Margrabe) в 1978 г.:
),
(28.18)
где Q1 – количество базисного актива S1 и Q2 – количество базисного актива S2.
Значения d1 и d2 определяются из выражений:
и
(28.19)
Значение
определяется из выражения:
.
(28.20)
Пример 28.6. Определить цену обменного опциона колл, который дает право держателю опциона поменять базисные облигации В на облигации А. Исходные данные представлены в табл. 28.1.
Прежде всего, на основе формулы (12.20) находим значение :
Затем по формуле (28.19) находим значений d1 и d2:
.
Таблица 28.1
Исходные данные для расчета цены обменного опциона
-
Показатель
Облигация типа
А
В
Текущая цена (S)
101
104
Купонный доход, %/ в год
8
6
Волатильность (σ), %/в год
18
12
Цена доставки (b), %
2
4
Срок исполнения (Т), год
0,5
0,5
Безрисковая процентная ставка, %/ в год
10
Коэффициент корреляции
0,8
На основе таблицы 5 Приложения 1 находим значения N(d1) и N(d2):
N (- 0,4629) = 0,3217 и N (-0,5411) = 0,2942
Полученные значения подставим в формулу (28.18) и определим цену обменного опциона колл:
.