28.2. Составные опционы

Тот хорошо живет, кто умело укрывается.

Овидий

Составные опционы представляют собой опционы на опционы. Существует четыре основных типа составных опционов: опцион колл на опцион колл, опцион пут на опцион колл, опцион колл на опцион пут, опцион пут на опцион пут. Эти опционы имеют две цены исполнения и два срока исполнения.

Впервые модель ценообразования составного опциона была предложена Геске в 1977 г., которая позднее в 1979 г. была им расширена. Проблема ценообразования составных опционов рассматривалась Ходжесом и Селби в 1987 г., а также Рубинштейном в 1991 г.

Рассмотрим пример составного опциона колл на опцион колл. На первую дату исполнения владельцу опциона дается право заплатить первую цену исполнения и приобрести опцион колл. Опцион колл даёт его владельцу право купить активы, лежащие в основе опциона, по второй цене исполнения в момент истечения срока исполнения опциона . Составной опцион может быть закрыт в первый срок исполнения только в том случае, если цена опциона на этот момент времени окажется больше, чем его первоначальная страйк цена.

Цены европейских опционов могут быть определены аналитически в терминах интегрального двумерного нормального распределения с использованием теории броуновского движения. Используя принятую нами систему обозначений, цену опциона колл на опцион колл можно определить как:

, (28.8)

где

(28.9)

(28.10)

В формулах (28.8) – (28.10) приняты следующие обозначения: – функция интегральной плотности для двумерного нормального распределения; I – цена базисной акции в момент времени при которой цена опциона в момент времени равна . Если действующая цена базисной акции в момент времени будет выше I, то первый опцион будет исполнен; если она будет не выше I, то опцион истекает без стоимости.

Значение I определяется из уравнения:

. (28.11)

При принятой нами системе обозначений стоимость европейского составного опциона пут на опцион колл выразится в виде формулы:

. (28.12)

Стоимость европейского составного опциона колл на опцион пут равна:

. (28.13)

Стоимость европейского составного опциона пут на опцион пут равна:

.(28.14)

Пример 28.4. Пусть в основе опциона колл лежит фондовый индекс. Рассмотрим процедуру оценки составного опциона пут на колл, который дает держателю опциона право продать его через три месяца за 50 пунктов. Страйк цена опциона колл, лежащего в основе опциона равна 520 пунктов. Срок истечения опциона колл – 6 месяцев. Цена фондового индекса, лежащего в основе опциона, равна 500 пунктам, безрисковая процентная ставка равна 8 %, дивидендная ставка по фондовому индексу принята в размере 3 % в год, и волатильность фондового индекса составляет 35 % в год. Таким образом, при принятой системе обозначений исходные данные представим в виде: S = 500, X₁= 520, X₂= 50, T₁= 0,25, T₂= 0,5, r = 0,08, b = 0,08 – 0,03=0,05,  = 0,35.