Опционы с переключением во времени
К опционам с дискретным переключением во времени относятся такие опционы колл, по которым инвестор получает в период действия опционов выплаты в сумме At в течение временного интервала t при условии превышения текущей цены базисного актива над страйк ценой опциона. Для опционов пут подобного класса инвестор получает выплаты в сумме А t при условии превышения страйк цены опциона над текущей ценой базисного актива. Формула, предложенная Печтлом в 1995 г. для определения цены опционов колл и пут, имеют соответственно следующий вид:
, (28.4)
(28.5)
где
Если
для какого либо опциона истек срок
исполнения, то в этом случае к цене
опциона добавляется величина, равная
,
где m
– число временных единиц, когда по
опциону были исполнены его условия.
Пример 28.2. Определить цену опциона колл с дискретным переключением времени при следующих исходных данных: срок исполнения опциона – один год, текущая цена базовой акции 100 долл., безрисковая процентная ставка 6 %, волатильность 26 % в год. Инвестор накапливает ежедневно выплаты в размере 5 × (1 / 365), если текущая цена базовой акции будет выше страйк цены опциона, равной 110 долл. Исходные данные перепишем в следующем виде: S = 100, X = 110, A = 5, T = 1, t = 1/365, r = b = 0,06, = 0,26, n = T/t =365, m = 0.
Подставив исходные данные в формулу (28.4), найдем стоимость опциона колл с дискретным переключением времени:
долл.
Следует отметить, что данный вид опциона в последнее время стал популярным на рынке ссудного капитала в форме так называемого накопительного свопа. Типичный накопительный своп характеризуется тем, что получатель фиксированной процентной ставки аккумулирует сумму по фиксированной процентной ставке от условной основной суммы кредитного обязательства в процентном свопе в те дни, когда плавающая ставка, например, ЛИБОР оказывается ниже или выше заданных пределов.
Опционы по выбору
Опционы по выбору дают держателю стандартного опциона право через определенный период t1 считать его опционом колл или пут при условии, что оба опциона имеют одинаковую страйк цену Х и сроки исполнения Т2. Платеж по простому опциону по выбору, осуществляемый в момент времени t1 (t1 < T) определяется из выражения:
где
и
- соответственно цены опционов колл и
пут, рассчитанных по обобщенной формуле
Блэка-Шоулза.
Для определения цены опциона по выбору используется модель Рубинштейна, которая была им предложена в 1991 г.:
(28.6)
где
(28.7)
Пример 28.3. Определим цену простого опциона по выбору при следующих условиях: срок исполнения опциона 6 месяцев, выбор между опционами колл или пут инвестор может сделать через три месяца. Цена базисной акции компании «And-Ray» равна 50 долл., страйк цена опциона также равна 50 долл. Безрисковая процентная ставка составляет 8% в год и волатильность цены базисной акции принята равной 25 % в год. Таким образом, исходные данные выпишем в следующем виде: S = 50, X = 50, T2 = 0,5, t1 = 0,25, r = b = 0,08, = 0,25.
По формулам (28.7) находим значения d и y:
,
По таблице Приложения 1 методом экстраполяции находим значение N(*):
Подставив полученные значения в формулу (28.6), находим стоимость опциона по выбору:
