Нестандартные американские опционы

Стандартный американский опцион может быть исполнен в любое время в период жизни опциона, при этом цена исполнения опциона всегда одинакова. На практике американский опцион не всегда удовлетворяет этим условиям.

Один из типов нестандартных американских опционов известен под названием бермудский опцион. Для таких опционов раннее исполнение ограничено точными датами на протяжении существования опциона. В качестве примера бермудского опциона может служить американский своп опцион, который может быть исполнен только в дату изменения плавающей процентной ставки в долгосрочном свопе. К другим типам нестандартных американских опционов относятся опционы, в основе которых лежат варранты на выпускаемые компанией акции.

Часто бывает так, что раннее исполнение опциона происходит в какой-либо из определённых частей срока его существования, но не в течение всего срока жизни опциона. Иногда страйк цена опциона растет со временем. Например, для пятилетних варрантов страйк цена опциона может быть 30 долл. в течение первых двух лет, 32 долл. в течение последующих двух лет и 33 долл. в последний год.

Форвардные стартовые опционы

Форвардные стартовые опционы со сроком исполнения через период Т относятся к опционам, которые оплачиваются на текущий момент времени, а их действие начинается в будущем после истечения определенного времени. Такие опционы часто используются в схемах поощрения сотрудников компании. К началу действия таких опционов они должны быть в деньгах.

Рассмотрим форвардные стартовые опционы колл, которые начинают действовать с момента времени и заканчиваются в момент времени, когда основной капитал не приносит дивидендов. Предположим что в данный момент времени текущая цена опциона равна , а в момент времени она равняется . Для оценки опциона обратимся к формуле Блэка-Шоулза, которая устанавливает пропорциональную зависимость между стоимостью опциона колл в деньгах и ценой базисной акции. Стоимость форвардного стартового опциона в момент времени будет равно где с - это текущая стоимость опциона колл, которая остается неизменной в период . Используя безрисковую оценку, получим стоимость форвардного стартового опциона на текущий момент времени:

,

где выражает ожидания безрискового окружения. Так как значения и известны и , то из этого следует, что стоимость форвардного стартового опциона равна . Другими словами стоимость форвардного стартового опциона равна стоимости обычного опциона в деньгах, если он имеет тот же срок жизни, что и форвардный стартовый опцион.

Стоимость форвардного стартового опциона может быть определена с помощью модели Рубинштейна. В этой модели страйк цена опциона выбирается с учетом ее равенства после определенного времени t цене базисного актива S, умноженной на постоянный коэффициент . Если   1, то форвардный опцион колл (пут) вступает в силу с условием, что он будет при деньгах (вне денег) на (1-) %. При условии  = 1 опцион вступает в силу при деньгах. И, наконец, если   1, то опцион колл (пут) вступает в силу при ( - 1) % вне денег (в деньгах).

Формула Рубинштейна для оценки форвардного стартового опциона колл имеет вид:

(28.1)

При определении стоимости форвардного стартового опциона пут используется формула:

, (28.2)

где

(28.3)

Пример 28.1. Рассмотрим опцион, выданный служащему компании, который вступит в силу через три месяца от сегодняшнего дня. На начальный момент своего действия опцион будет иметь страйк цену на 15 % ниже текущей цены базисного актива (опцион вне денег); срок действия опциона равен одному году начиная с сегодняшнего дня. Цена базисной акции равна 65 евро, безрисковая процентная ставка принята в размере 10 % в год. Непрерывный дивидендный доход составляет 5 % в год, ожидаемая волатильность цены базисной акции равна 32 % в год. Таким образом, исходные данные будут представлены следующим образом: S = 65, =1,15, t = 0,25, r = 0,1, b = 0,1 – 0,05 = 0,05,  = 0,32.

На основе формул (28.3) определяются значения d₁ и. d₂:

Затем по данным таблицы Приложения 1 находим значения N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N (- 0,2304) = 0,4088, N(d₂) = N (- 0,5076) = 0,3065.

Подставив полученные значения N(d₁) и N(d₂) в формулу (28.1) находим цену форвардного стартового опциона колл:

евро.