27.5. Показатель ро
Пусть каждый твой поступок, даже рядовой,
будет в своей области – равноценным королевскому.
Бальтазар Грациан
Показатель ρ выражает уровень изменения цены опциона в зависимости от колебания годовой безрисковой процентной ставки. Таким образом, этот показатель характеризует чувствительность цены опциона к изменению годовой безрисковой процентной ставки.
При увеличении безрисковой процентной ставки цена опциона колл возрастает, а цена опциона пут снижается. Положительный показатель ρ показывает, что стоимость опциона будет увеличиваться с ростом годовой процентной ставки.
Показатель ρ для европейского опциона колл определяется из выражения
,
(27.12)
а для европейского опциона пут из выражения
.
(27.13)
Значение d2 в формулах (27.12) и (27.13) определяем из выражения (27.11).
Пример 27.10. Рассмотрим опцион колл европейского стиля, в основе которого лежат акции компании «Глубахов и сыновья». Текущая цена базисной акции равна 72 евро, страйк цена опциона 70 евро, срок исполнения – через 6 месяцев, волатильность цены базисной акции равна 20 %, величина безрисковой процентной ставки равна 12 % в год. Следовательно, исходные данные можно записать в следующем виде: S = 72, X = 75, r = 0,12, σ = 0,2, Т= 0,5. Подставив данные в формулу (27.11), находим значение d2:
.
По данным таблицы 6 Приложения 1 находим значение функции N(d2):
N(d2) = N (0,0649) = 0,5287.
Подставив полученное значение функции N(d2) в формулу (27.12) находим показатель ρ для опциона колл:
ρс = 0,5×75e-0,12×0,5 × 0,5287 = 18,6716.
Полученный результат показывает, что изменение величины безрисковой процентной ставки на один процент (или на 0,01), например, с 10 до 11 % обусловит повышение цены опциона колл примерно на 0,1867 евро.
Пример 27.11. Рассмотрим европейский опцион пут со сроком исполнения через 4 месяца, в основе которого лежит биржевой индекс. Текущий показатель биржевого индекса составляет 850 пунктов. Страйк цена индексного опциона пут равна 840 пунктам, дивидендный доход равен 4% в год, величина безрисковой процентной ставки равна 8 % в год, показатель волатильности базисного индекса равен 25 % в год. Таким образом, S = 850, X = 840, q = 0,04, r = 0,08, σ = 0,25, T = 0,25.
Прежде всего, используя формулу (27.11), определяем значение d2.
d2
=
Подставив значение d2 в формулу (27.13), получим значение ρ для индексного опциона пут:
Значение ρр для опциона пут позволяет сделать вывод, что при повышении величины безрисковой процентной ставки на один процент, например с 8 до 9%, стоимость индексного опциона снизится примерно на 1,126 пунктов.
Для валютных опционов рассчитываются два показателя ρ, соответствующих двум процентным ставкам. Показатель ρ, соответствующий внутренней процентной ставке, определяется на основе формул (27.12) и (27.13), а показатель ρ, соответствующий иностранной процентной ставке можно определить из выражений:
для валютного опциона колл:
;
(27.14)
для валютного опциона пут:
(27.15)
В формулах (27.14) и (27.15) показатель выражает иностранную процентную ставку.
Пример 27.12. Теоретические цены опционов колл и пут равны соответственно 3,5 и 3,25 долл. Показатели ρ для этих опционов составляют соответственно 0,55 и - 0,70.
При снижении процентной ставки с 5,11 до 4,11 % в год теоретические цены опционов колл и пут изменятся и составят, соответственно:
для опциона колл: 3,50 – 1,0×0,055 = 3,45 долл.,
для опциона пут: 3,25 – 1,0×(- 0,07) = 3,25 + 0,7 = 3,32 долл.
Резюме
Для оценки чувствительности цены опциона от ряда факторов используются следующие показатели.