27.2. Показатель гамма

Любые муки и зло, которые человек навлекает

на себя добровольно и по собственному выбору,

несравненно менее болезненны, чем те, что

навлекают на него другие.

Никколо Макиавелли

Показатель дельта для опциона может достаточно точно отражать изменение стоимости опциона только при незначительных изменениях цены базисного актива на коротком промежутке времени. При значительных изменениях цены базисного актива для компенсации неточности показателя дельта необходимо использовать показатель гамма.

Показатель гамма позволяет определить темпы изменения показателя дельта при увеличении цены базисного актива опциона. Гамма для опционов колл и пут определяется из выражения:

> 0, (27.5)

где ; (27.6)

. (27.7)

Пример 27.5. Рассмотрим опцион со сроком истечения через 9 месяцев. Текущая цена базисной акции опциона – 55 д. ед., страйк цена опциона – 60 д. ед., безрисковая ставка – 10 % в год, волатильность цены базисной акции – 30 % в год, издержки на подержание позиции – 10 % в год. Таким образом, S = 55, X = 60, r = 0,1, b = 0,1, T = 0,75, σ = 0,3.

Используя (27.6), определяем значение d₁:

= 0,0837.

Используя (27.7), находим значение n(d₁):

.

Подставив полученное значение n(d₁) в (27.5), определяем величину гамма опциона:

С изменением цены базисного актива величина показателя гаммы будет меняться, что иллюстрируется графиком на рис. 27.3. Гамма достигает максимального значения для опционов при деньгах и уменьшается по мере того, как опцион становится все большим в деньгах или вне денег.

Значение гаммы меняется с течением времени и вследствие изменения волатильности цены базисного актива опциона.

Г

Цена базисного актива

Страйк цена

Рис. 27.3. Зависимость показателя гаммы от цены базисного актива опциона

Если обратиться к данным табл. 27.2, то для фьючерсного опциона колл со страйк ценой 1300 показатель дельта равен 50,5 %. Если предположить, что цена базового фьючерса изменилась на 1 индексный пункт, то цена опциона увеличится примерно на 0,5 пункта. Показатель гамма для опциона колл со страйк ценой 1300 равен 1,2 %. При увеличении цены фьючерса на 1 пункт показатель дельта изменится на 1,2 % и будет равен 51,7 (50,5 + 1,2). Следовательно, при изменении цены базисного актива на 1 индексный пункт стоимость опциона колл с учетом эффекта гамма увеличится на 0,517 пункта.

Изменение стоимости опциона колл (Δс) при изменении цены базисного актива с учетом влияния показателей гамма можно определить из выражения:

Δс = ΔΓ × (ΔS)².

Пример 27.6. Определить изменение цены опциона, если цена базового актива увеличилась на 25 пунктов. Для данного опциона показатель дельта равен 0,60, а показатель гамма 0,02.

Цена опциона изменится за счет:

а) эффекта показателя дельта:

Δс_Δ = 25 × 0,6 = 15 пунктов;

б) гамма эффекта:

Δс_Γ = 0,6 × 0,02 × 25² = 7,5 пунктов.

Изменение стоимости опциона колл при увеличении цены базисного актива на 25 пунктов составит: Δс = Δс_Δ + Δс_Γ = 15 + 7,5 = 22,5 пунктов.