Глава 27. Чувствительность цены опциона
Если дело, каким бы мелким оно ни было, выполняется играючи,
это не просто свидетельствует о мастерстве, но и часто заставляет
оценивать его выше, чем оно есть на самом деле. Так происходит
оттого, что наблюдателям кажется, будто человек, который работает
хорошо и без усилий, способен на большее.
Бальтазар Грациан
27.1. Дельта опциона
Не начинайте рискованных предприятий,
не изучив предварительно всех фактов, с ним связанных.
Показатель дельта опциона выражает темп изменения стоимости опциона в зависимости от изменения текущей цены актива, лежащего в основе опциона и определяется как отношение изменения цены опциона к изменению цены базисного актива. Для опциона колл показатель дельта можно определить из выражения:
Δ = Δс / ΔS, (27.1)
где Δс – изменение цены опциона; ΔS – изменение цены базисного актива опциона.
Употребляя принятую математическую терминологию, можно сказать, что при ΔS 0 предел отношения Δс / ΔS выражается как ∂с/∂S. Следовательно, выражение (27.1) для опциона колл можно переписать в виде:
>
0, (27.2)
а для опциона пут:
<
0, (27.3)
(27.4)
где S – текущая цена базисного актива опциона, д. ед.; Х – страйк цена опциона, д. ед.; b – издержки, связанные с поддержанием фьючерсной позиции (цена доставки), %; r – безрисковая процентная ставка, %; σ – волатильность цены базисного актива, %; Т- срок истечения опциона, год.
Значение функции N(d1) находится методом экстраполяции по данным таблиц 5 и 6 Приложения 1.
Дельта обычно выражается в процентах или в долях единицы. Величина показателя дельта для опционов колл изменяется в пределах от 0 до 1. Если опцион колл, страйк цена которого значительно ниже текущей рыночной цены финансового инструмента, лежащего в его основе в деньгах, то =1. Для опционов при деньгах 0.5, и для опционов колл, страйк цена которого значительно выше текущей рыночной цены финансового инструмента, лежащего в его основе, = 0. В табл. 27.1 приведены значения дельта для опционов колл и пут в зависимости от того, является ли опцион в деньгах, при деньгах или вне денег.
Таблица 27.1
Показателя дельта для опциона при изменении текущего курса базисного актива
Операция
|
Опцион |
||
в деньгах |
при деньгах |
вне денег |
|
Покупка колл |
1 |
0,5 |
0 |
Продажа колл |
-1 |
- 0,5 |
0 |
Покупка пут |
-1 |
- 0,5 |
0 |
Продажа пут |
1 |
0,5 |
0 |
Графически показатель дельта выражается как тангенс угла наклона прямой, проведенной в виде касательной к кривой цены опциона в точке, соответствующей текущей цене базисного актива. На рис. 27.1 представлена кривая зависимости цены опциона колл со страйк ценой 90 д. ед.
При текущей цене базисного актива, равной 90 д. ед., то есть для опциона при деньгах, касательная к кривой зависимости цены опциона проведена через точку А. Отношение АВ/ВС – это есть тангенс угла С, выражающий показатель дельта для опциона, В нашем примере АВ =1 и ВС = 2, и следовательно, Δ = ½ =0,5.
Стоимость
опциона
А
В
С
50 90 130 Цена базисного
актива
Рис. 27.1 Кривая стоимости опциона и дельта опциона
В табл. 27.2 приведены данные о ряде показателей для опциона колл, в основе которого лежит индексный фьючерс. Для расчета приведенных показателей приняты следующие исходные данные:
а) текущая цена индексного фьючерса – 1300 пунктов;
б) волатильность – 20 %;
в) срок истечения опциона – 1 неделя.
Таблица 27.2
Изменение показателей опциона при различной его страйк цене
-
Страйк цена опциона колл
Теоретическая цена опциона
Дельта
Гамма
Вега
Тета
1270
33,.9
80,4
0,8
0,50
0,89
1280
26,4
71,6
0,9
0,61
0,99
1290
19,8
61.5
1,1
0,69
1,03
1300
14,4
50,5
1,2
0,72
0,98
1310
10,0
39,6
1,1
0,69
0,87
1320
6,6
29,5
1,0
0,62
0,71
Из данных табл. 27.2 видно, что для опциона при деньгах (страйк цена опциона 1300) показатель дельта равен 50,5 % или примерно 0,5. Это позволяет утверждать, что при изменении цены базисного актива на один базисный пункт, цена опциона изменится на 0,5 пункта. При страйк цене, равной 1270 индексным пунктам, опцион будет в деньгах, и показатель дельта для этого опциона равен 80,4 %. Следовательно, при изменении цены базисного актива на один базисный пункт цена опциона изменится примерно на 0,8 пункта. Из этой таблицы видно, что чем больше будет опцион вне денег, тем ниже будет показатель дельта.
Пример 27.1. Определить показатель дельта для фьючерсных опционов колл и пут с исполнением через 6 месяцев при следующих условиях: Цена фьючерсного контракта – 105 долл., страйк цена опциона - 100 долл., безрисковая процентная ставка – 10 %, волатильность цены базисного актива – 36 % и затраты на поддержание фьючерсной позиции - 0. Таким образом, исходные параметры будут следующие: S = 105, X = 100, T = 0,5, r = 0,1, b = 0 и σ = 0,36. Прежде всего, вычислим показатель d1 и по данным таблицы Приложения 1 методом экстраполяции значение функции N(d1):
Подставив значения параметров, получим значение d1:
=
0,3189.
По данным табл. 6 Приложения 1 методом экстраполяции определяем N(d1):
N(d1) = N (0,3189) = 0,6251.
Подставив полученную величину функции N(d1) в формулы (27.2) и (27.3), получим показатели дельта для:
опциона колл
;
опциона пут:
.
Пример 27.2. Определить показатель дельта для опциона колл, если стоимость опциона при росте цены базисного актива со 100 до 110 долл. увеличилась с 4 до 7 долл.
Цена базисного актива возросла на 10 пунктов, и это обусловило рост стоимости опциона на 3 пункта. Следовательно, показатель дельта этого опциона будет равен:
= 3/10 = 0,3 или 30 %.
В рассмотренном примере при изменении цены базисного актива на один пункт стоимость опциона изменяется на 0,3 пункта. Графически зависимость изменения стоимости опциона колл от изменения цены базисного актива представлено на рис. 27.2.
Стоимость
опциона
7
4
100 110 Текущая цена
базисного актива
Рис. 27.2. Изменение стоимости опциона колл при изменении цены базисного актива
Зная показатель дельта и изменение цены базисного актива можно определить изменение стоимости опциона и скорректировать стоимость опциона.
Пример 27.3. Опцион колл со страйк ценой 120 долл. был куплен за 10 долл. Показатель дельта для этого опциона равен 0,4. Цена базисного актива возросла на 15 долл. Определить, чему будет равна стоимость опциона при данном росте цены базисного актива.
Изменение стоимости опциона равно 0,4 × 15 = 6 долл.
Стоимость опциона составит 10 + 6 =16 долл.
Для опционов пут при росте цены базисного актива стоимость опциона снижается, а при снижении цены базисного актива стоимость опциона увеличивается. Следовательно, для опционов пут показатель дельта будет иметь негативное значение.
Метод, используемый торговцами опционов для защиты своих позиций от изменения цены базового актива, называется дельта хеджированием.
Пример 27.4. Инвестор в декабре купил на внебиржевом рынке мартовский опцион пут, в основе которого лежат 1000 акций компании «Глубахов и сыновья» американского стиля со страйк ценой 120 евро, который может быть исполнен в любую дату до наступления срока исполнения данного опциона. Предположим, что купленный опцион пут – опцион в деньгах и показатель дельта этого опциона равен 0,7.
Инвестор прогнозирует повышение курсовой цены акций компании «Глубахов и сыновья» на относительно коротком интервале времени. Если при этих условиях инвестор желает сохранить купленный опцион до снижения курсовой цены базисного актива, он должен купить следующее количество акций компании «Глубахов и сыновья» -
1000 × 0,7 = 700 акций.
Если через некоторое время цена акции повысится на один евро, то инвестор получит по акциям прибыль в сумме 700 евро. Одновременно цена опциона пут снизится на
1000 × 1 × (- 0,7) = - 700 евро.
Таким образом, на коротком промежутке времени инвестор с помощью дельта хеджирования своей позиции по опциону пут избежал убытков, обусловленных повышением цены базового актива. Поскольку в нашем примере дельта опциона пут компенсируется дельтой акций, то такая позиция называется дельта нейтральной. Позиция инвестора может быть дельта нейтральной только на коротком промежутке времени и при небольших изменениях цены базисного актива.
При положительном показателе дельта инвестор должен купить опцион колл и продать часть акций. Инвестор должен учитывать, что величина дельты может постоянно меняться и при использовании этого показателя с целью страхования, он должен периодически пересматривать свою позицию.