26.7. Обобщенная модель Блэка-Шоулза
Приступив к нашим делам, мы на первых порах управляем ими
и держим их в своей воле, но позднее, когда они уже сдвинуты
с места, они управляют нами и тащат за собой, так что нам только
и остается, что идти следом.
Монтень
Чтобы получить обобщенную модель Блэка-Шоулза, необходимо ввести в модель еще одну составляющую – цену доставки опциона b, которая включает издержки, связанные с владением активов в течение периода действия опциона, включая и упущенную выгоду. С учетом вышеизложенного обобщенную модель:
,
(26.20)
(26.21)
где значения d1 и d2 определяются из выражений:
и (26.22)
. (26.23).
При b = r формулы (26.20) – (26.23) соответствуют простой модели Блэка-Шоулза, которая используется для оценки опционов акций.
При b = (r – q) формулы (26.20) – (26.23) соответствуют модели Мертона, которая позволяет оценить опционы, в основе которых лежат акции, приносящие непрерывный дивидендный доход по ставке q, и индексные опционы.
При b = 0 формулы (26.20) – (26.23) соответствуют модели Блэка, которая позволяет оценить фьючерсные опционы.
При b = (r – rf) формулы (26.20) – (26.23) соответствуют модели Гармана и Колхагена, которая позволяет оценить валютные опционы.
Резюме
Ф. Блэк и М. Шоулз были авторами модели цены опциона с учетом основных факторов, влияющих на стоимость опционов: курсовой цены акции, лежащей в основе опциона, страйк цены опциона, безрисковой процентнгй ставки, срока исполнения опциона и волатильности цены базового актива. Формализация цены опционов с учетом перечисленных факторов позволяет определить цену как опциона колл так и опциона пут.
Предложенная модель позволяет определить цену опциона, в основе которого могут лежать разные активы: акции, биржевые индексы, фьючерсные опционы, валюта и др.
Существующая связь между ценами опционов колл и пут европейского стиля позволяет при известной цене опциона колл определить цену опциона пут на основе паритета цен для этих опционов.
Если ввести в модель еще одну составляющую – цену доставки опциона b, которая включает издержки, связанные с владением активов в течение периода действия опциона, с учетом и упущенной выгоды, мы получим обобщенную модель Блэка-Шоулза,
Контрольные вопросы и задачи к гл. 26
1. Приведите основные факторы, влияющие на цену опциона колл. Могут ли эти же факторы влиять на стоимость опциона пут? Если нет, то какие дополнительные факторы могут влиять на цену опциона пут?
2. Текущая цена базисной акции 42 долл. и через месяц она может или увеличиться до 45 долл. или снизиться до 39 долл. Чему будет равняться стоимость европейского опциона колл, если ее страйк цена будет равна 40 долл., а безрисковая процентная ставка будет иметь значение 10 % в год?
3. Определите цену европейского опциона колл со сроком исполнения через 3 месяца, если в его основе лежат акции с текущей ценой 45 долл., дивидендная доходность которых равна 6% в год. Страйк цена опциона равна 48 долл., безрисковая процентная ставка равна 8% в год и волатильность цены базисной акции принята в размере 28 % в год.
4. Текущая цена акции равна 55 долл. Примите, что ожидаемая доходность акции 16 % в год и волатильность ее цены 28 % в год. Каково будет распределение вероятностей цены акции через один год? Определите значения средней и среднеквадратического отклонения распределения.
Изменение цены акции подчиняется геометрическому броуновскому движению. Ожидаемая доходность акции 20 % в год, волатильность цены акции 40 % в год, текущая цена акции – 45 долл. Определите, чему равна вероятность:
а) исполнения европейского опциона колл со сроком исполнения через 6 месяцев, если страйк цена опциона равна 50 долл.;
б) исполнения европейского опциона пут с теми же заданными параметрами.
7. Определите цену европейского опциона пут со сроком исполнения через 6 месяцев, если страйк цена опциона равна 50 долл. Прогнозируется, что к концу срока исполнения опциона пут цена базисной акции может увеличиться до 55 долл. или снизиться до 40 долл. Безрисковую процентную ставку можно принять в размере 10 % в год.
8. Определите цену европейского опциона колл, в основе которого лежат бездивидендные акции с текущей ценой 65 долл. Срок исполнения опциона – через 9 месяцев, страйк цена опциона – 68 долл. Волатильность цены базисной акции равна 32 % в год, безрисковая процентная ставка составляет 8 % в год.
9. Рассмотрите опцион со сроком исполнения через 6 месяцев, в основе которого лежат бездивидендные акции, текущая цена которых равна 44 долл. Страйк цена опциона принята равной 42 долл., безрисковая процентная ставка равна 6 % в год и волатильность цены базисной акции равна 28 % в год. Чему будут равны при этих исходных данных стоимости опционов колл европейского и американского стиля?
10. Американский опцион колл имеет в своей основе акции, текущая цена которых равна 75 евро. Страйк цена опциона – 62 евро, волатильность цены акций – 30 % в год, безрисковая процентная ставка – 9 % в год. Срок исполнения опциона – через 7 месяцев. Ожидается, что через 3 и 6 месяцев по акциям будут выплачены дивиденды в размере 0,92 евро за акцию. Определите цену такого опциона. Докажите, что исполнение этого опциона между датами выплаты дивидендов неэффективно.