26.6. Оценка валютных опционов

Гораздо правильнее начинать спокойно и хладнокровно,

сберегая свое дыхание и свой порыв для преодолении

возможных препятствий и для завершения начатого.

Монтень

Многие фондовые биржи мира активно проводят торги с опционами, в основе которых лежат валюты разных стран. В настоящее время торгуют такими валютами, как австралийский доллар, британский фунт, канадский доллар, японская иена, швейцарский франк, евро, и др. Для большинства этих валют на биржах используются опционы как европейского, так и американского стиля.

Значительное количество торговых сделок по опционам на иностранную валюту проводится вне организованных бирж. Многие банки и другие финансовые учреждения готовы продавать или покупать опционы на иностранную валюту, которые имеют цену и дату исполнения, составленные так, чтобы удовлетворять потребности их корпоративных клиентов. Для корпоративного клиента, желающего застраховать риск при обмене валюты, опционы на иностранную валюту - альтернатива срочным сделкам. Компания, которая должна получить стерлинги в известное время в будущем может застраховать риск, купив опцион пут на стерлинг, который будет исполнен в требуемый момент времени. Это гарантирует, что стоимость стерлинга не будет меньше, чем цена исполнения и может позволить компании извлечь выгоду из любых благоприятных перемещений валютного курса. Точно так же компания, которая должна приобрести стерлинг в известное время в будущем может застраховать риск, купив опцион колл на стерлинг, который будет исполнен в требуемый момент времени. Это гарантирует, что стоимость стерлинга не будет большая, чем некоторая сумма и может позволить компании извлечь выгоду при благоприятном изменении валютного курса. Примем во внимание, что срочная сделка определяет валютный курс для фьючерсной сделки, а опцион определяет тип страхования.

Чтобы оценить валютные опционы, определим S как наличный валютный курс. Предполагается, что валютные курсы изменяются по тому же типу стохастического процесса, как и акция: геометрическое броуновское движение. Кроме того, определим σ как изменчивость валютного курса и как безрисковую процентную ставку в зарубежной стране.

Владелец иностранной валюты получает "дивидендный доход", равный безрисковой процентной ставке в иностранной валюте. Поскольку мы принимаем один и тот же стохастический процесс для акций и иностранных валют, то формулы (26.5) и (26.6) правильны с q, замененным на . Из этого следует, что цены европейских опционов колл с и пут p равны:

, (26.16)

, (26.17)

где

и .

Такая модификация модели Мертона была предложена Гарманом и Колхагеном в 1983 г.

Как процентная ставка внутри страны r, так и процентная ставка в зарубежной стране , приняты постоянными и равными для всех сроков платежей. Обратим внимание на схожесть валютных опционов колл и пут: для опциона пут продать X_А единиц валюты A за X_В единиц валюты B означает то же самое что для опциона колл купить X_В единицы валюты B за X_А единиц валюты A. Из уравнения (24.10) курс по срочной сделке F для срока платежа T равен:

_.

Это позволяет упростить уравнения (26.16) и (26.17)

, (26.18)

, (26.19)

где

и .

Отметим, что сроки обращения форвардного контракта и опциона должны быть одинаковыми в уравнениях (26.18) и (26.19).

Пример 26.9. Рассмотрим европейский валютный опцион колл со сроком исполнения через шесть месяцев. В основе опциона лежит обменный курс американского доллара (USD) на канадский доллар (CAD). Текущий обменный курс USD/CAD равен 1,56. Страйк цена опциона – 1,6 канадских долларов за один американский доллар. Безрисковая процентная ставка на внутреннем рынке США 6 % и в Канаде 8 %, волатильность обменного курса 12 ,5 % в год. Запишем исходные данные: S = 1,56, X = 1,60, r = 0,06, r_f = 0,08, σ = 0,12 и T = 0,5.

Для определения цены данного валютного опциона колл используем формулу (26.16). С этой целью прежде определим

На основании таблицы 5 Приложения 1 методом экстраполяции находим значения N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N (- 0,3738) = 0,3543, N(d₂) = N (- 0,4587) = 0,3232.

Подставив полученные значения N(d₁) и N(d₂) в формулу (26.16) найдем цену валютного опциона колл:

0,0291.

Пример 26.10. Рассмотрим 3-х месячный европейский опцион колл на британский фунт стерлингов. Предположим, что текущий валютный курс 1,4398, цена исполнения 1,4398, безрисковая процентная ставка в Соединенных Штата 9 % в год, безрисковая процентная ставка в Англии - 12 % в год, и цена опциона равна 3,4 цента. В этом случае S = 1,4398, X = 1,4398, r = 0,09, r_f = 0,12, T - t = 0,25, и c = 0,034. Значение колеблемости может быть рассчитано методом подбора. При σ = 20 % цена опциона равна 0,056; при σ = 10 % цена валютного опциона равна 0,0225; и так далее. Цена опциона будет равна 3,4 цента при σ = 14 %.

В некоторых случаях, оптимальным является исполнение американских опционов на валюту до наступления срока их окончания. Поэтому американские валютные опционы стоят больше, чем их европейские аналоги. Вообще, опционы колл на валюту с высоким обменным курсом и опционы пут на валюту с низким обменным курсом более предпочтительно исполнять до наступления их срока. Это обусловлено тем, что валюта с высоким обменным курсом может обесцениваться по отношению к другой валюте, например, по отношению к доллару США, а валюта с низким обменным курсом может вырасти в цене относительно доллара США. К сожалению, аналитических формул для оценки американских опционов на валюту не существует.