26.5. Паритет цен опционов колл и пут
Опыт доказывает, что тот, кто заранее вынашивает
и обдумывает замыслы будущих предприятий, может
действовать весьма быстро, когда наступает время для
их осуществления.
Кардинал Ришелье, 1585-1642
Существующая связь между ценами опционов колл и пут европейского стиля позволяет при известной цене опциона колл определить цену опциона пут на основе паритета цен для этих опционов. Предположим, что инвестор следующим образом формирует два портфеля:
Портфель
А включает один опцион колл европейского
стиля и наличные деньги в сумме
.
Стоимость этого портфеля в день исполнения
опциона равна:
(26.13)
Портфель Б включает один опцион пут и одну акцию. В день исполнения опциона портфель Б будет иметь стоимость:
(26.14)
В день исполнения опционов оба портфеля будут иметь стоимость max (ST, X). Поскольку опционы европейского стиля не могут исполняться раннее контрактного срока, то в день их исполнения оба портфеля равны по стоимости, и можно записать следующее равенство:
(26.15)
Полученное равенство (26.15) выражает паритет цен европейских опционов колл и пут, в основе которых лежат акции. При отсутствии паритета цен на опционы колл и пут появляется возможность исполнения арбитражной сделки.
Пример 26.5. Пусть цена акции равна 52 долл., цена исполнения опциона 50 долл., безрисковая процентная ставка 12 % в год. Цены опционов колл и пут со сроком исполнения 3 месяца, соответственно, равны 4 и 3 долл. В основе обоих опционов лежат одни и те же акции.
Стоимость портфеля А равна (формула 26.13):
52,52
долл.
Стоимость портфеля Б находим из выражения (26.14):
p + S = 3 +52 = 55 долл.
Полученные результаты показывают, что портфель Б имеет более высокую цену, что обусловливает проведение инвестором арбитражной сделки. В этом случае инвестор покупает активы в портфель А и продает опцион пут и акцию из портфеля Б. Такая стратегия приведет к положительному для инвестора денежному потоку:
-5 + 4 + 52 = 51 долл.
При инвестировании этого денежного потока сроком на три месяца по безрисковой процентной ставке инвестор получит:
52,55
долл.
Если на день исполнения опциона колл курсовая цена акции будет выше страйк цены этого опциона, то он будет исполнен. Если курсовая цена акции окажется ниже 50 долл., то будет исполнен опцион пут. При любом исходе инвестор окажется с акцией, купленной за 50 долл. Эта акция закроет короткую позицию инвестору, и он будет иметь чистый доход от арбитражной сделки в сумме
52,55 – 50,00 = 2,55 долл.
Пример 26.6. Рассмотрим альтернативную ситуацию, когда портфель А стоит больше портфеля Б. В предыдущем примере изменим цены опционов, и пусть опционы колл и пут соответственно будут стоить 5,5 и 1,5 долл.
В этом случае портфель А будет стоить:
54,02
долл.,
а портфель Б -
долл.
Инвестор проводит арбитражную сделку, используя следующую стратегию: продает опцион колл из портфеля А и покупает опцион пут и акцию в портфель Б. В этом случае инвестор получит чистый положительный денежный поток:
52 + 1,5 – 5,5 = 48 долл.
При инвестировании этого денежного потока на три месяца по безрисковой процентной ставке инвестор получит:
49,46
долл.
Как и в предыдущем примере в день исполнения опционов будет исполнен опцион колл или опцион пут. Инвестор остается с акцией по цене 50 долл. и имеет чистую прибыль
50 – 49,46 = 0,54 долл.
Пример 26.7. Предположим, что европейский опцион колл со сроком исполнения 6 месяцев имеет в своей основе акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Текущая цена акции равна 100 евро, страйк цена опциона равна 105 евро. Примем безрисковую процентную ставку равной 10 % в год и цену опциона колл 8,5 евро. Чему будет равна цена опциона пут с теми же параметрами, что и опцион колл?
На основе формулы (26.15) вычислим цену стоимости опциона пут:
p= c –S + Xe-rT = 8,5 – 100 + 105e-0,1×0,5 = 8,33 евро.
Уравнения определения паритетных цен опциона колл или опциона пут имеют вид:
а) для индексных опционов:
,
;
б) для фьючерсных опционов:
,
;
в) для валютных опционов:
,
.
Пример 26.8. Цена опциона колл европейского стиля, в основе которого лежит фьючерсный контракт на поставку серебра через 6 месяцев, равна 0,62 долл. за унцию. Цена исполнения опциона равна 8,7 долл. Предположим, что фьючерсная цена серебра с поставкой через 6 месяцев в настоящее время составляет 8,1 долл. Безрисковая процентная ставка на инвестиции, которые будут возвращены через 6 месяцев, равна 12 % в год.
Подставив данные в уравнение (26.13), получаем, что цена европейского опциона пут на фьючерс по серебру с тем же самым сроком платежей и сроком исполнения, что и опцион колл, равна:
1,18
долл.