26.4. Оценка фьючерсных опционов
Рассчитай все до конца, что бы ты не обдумывал.
Порой Бог дает человеку проблеск счастья,
но потом полностью разрушает все.
Геродот
Торговля опционами на фьючерсные контракты (фьючерсными опционами) производится многими биржами мира. Особенность фьючерсных опционов заключается в том, что они требуют выполнения основного фьючерсного контракта после исполнения опциона. Если фьючерсный опцион колл исполнен, то его держатель приобретает длинную позицию в основном фьючерсном контракте плюс наличная сумма, равная текущей фьючерсной цене за минусом цены исполнения фьючерса. Если фьючерсный опцион пут исполнен, то его держатель приобретает короткую позицию в основном фьючерсном контракте плюс наличная сумма, равная цене исполнения фьючерса за минусом текущей фьючерсной цены. В основе фьючерсных опционов могут лежать как финансовые, так и товарные фьючерсные контракты.
В 1976 г. Блэк внес дополнение в исходную формулу Блэка-Шоулза, что позволило определять цены фьючерсных опционов. В основе таких опционов лежат фьючерсные контракты с начальной ценой F. В гл. 24 было показано, что фьючерсная цена F актива может быть связана с текущей ценой выражением вида (формула 24.5):
Если σ - функция времени (но не функция S или любых других случайных переменных) и колеблемость S постоянна, то колеблемость F постоянна и равна колеблемости S. В этом случае фьючерсная цена может трактоваться как выплаты по акции, приносящей непрерывный дивидендный доход по ставке r. Поэтому при определении цены фьючерсных опционов колл и пут европейского стиля необходимо в уравнениях (26.5) и (26.6) произвести соответственно замену S на F и q на r. В этом случае стоимость фьючерсных опционов колл и пут определяются по формулам (26.11) и (26.12).
(26.11)
(26.12)
где
Пример 26.4. Рассмотрим европейский фьючерсный опцион пут на сырую нефть. Предположим, что срок исполнения опциона - 6 месяцев, текущая фьючерсная цена – 54 долл., цена исполнения фьючерса – 54 долл., безрисковая процентная ставка - 10 % в год, и волатильность фьючерсной цены - 28 % в год. В этом случае, F = 24, X = 24, r = 0,10, T - t = 0,5 и σ = 0,28. Так как ln (F/X) = 0, то
и
.
По данным таблиц 5 и 6 Приложения 1 находим значения N(-d1) N(-d2):
N(-d1) = 0,4606, N(-d2) = 0,5395
и цена опциона пут p определяется как:
4,05
долл.
Большая часть торгуемых фьючерсных опционов относится к американскому стилю. Предположим, что безрисковая процентная ставка r положительна, то всегда может наступить ситуация, когда держателю такого опциона будет выгоднее его исполнить до наступления срока исполнения фьючерсного опциона. Поэтому фьючерсные опционы американского стиля стоят дороже (при прочих равных условиях), чем его европейский аналог. Кроме того, нельзя утверждать, что американский фьючерсный опцион в день его исполнения равен по стоимости обычному опциону, в основе которого лежат те же самые активы. Это обусловлено тем, что американский фьючерсный опцион колл может быть исполнен раньше срока исполнения, что позволит держателю опциона получить больший доход. Что касается фьючерсного опциона пут и обычного опциона пут американского стиля, в основе которых лежат одинаковые активы, то фьючерсный опцион пут будет иметь цену ниже в сравнении с ценой обычного опциона. Разница в ценах между рассмотренными опционами может возникнуть как в случае, когда срок исполнения фьючерсного контракта наступает позднее срока исполнения обычного опциона, так и в случае, когда фьючерсный контракт и обычный опцион имеют одинаковые сроки исполнения.