26.2. Опционы на акции, приносящие известные дивидендные доходы

Легковерные не в силах удержаться на безопасном расстоянии;

они толпятся вокруг чудотворца, попадая под воздействие ауры

его личности, попадая в плен иллюзий, идут за ним с тяжеловесной

серьезностью, словно стадо.

Грете де Франческо

Рассмотрим акцию с непрерывным дивидендным доходом по постоянной годовой ставке q. Чтобы понять, как оценивается опцион, базисом которого является такая акция, сравним эту акцию с подобной акцией, по которой не выплачиваются дивиденды. Выплата дивидендов обусловливает снижение курсовой цены на величину, равную объявленному дивиденду. Из этого следует, что выплата непрерывного дивидендного дохода по ставке q приводит к снижению темпа роста курсовой цены акции в сравнении с изменением цены акции, не приносящей дивидендного дохода, на величину q. Если курсовая цена акции с непрерывным дивидендным доходом q вырастет от S в момент времени t до S_T в момент времени T, то для акции без дивидендного дохода цена возрастет от S в момент t до S_T e ^q(T-t) в момент T. Другими словами, ее стоимость возросла бы от S e ^-q(T-t) в момент времени t до S_T в момент времени T.

На основе этого можно сделать вывод: европейский опцион на акции с ценой S, приносящий непрерывный дивидендный доход q, имеет ту же стоимость, как и соответствующий европейский опцион на акции с ценой S e ^-q(T-t) и без дивидендного дохода. Это обусловлено тем, что окончательные цены на акции одинаковы в обоих случаях. Чтобы оценить европейский опцион на акцию, дающую известный дивидендный доход, можно использовать формулу Блэка-Шоулза, если заменить текущую цену акции с S на S e ^-q(T-t). При замене S на S e ^-q(T-t) в уравнениях (26.1) и (26.2) получаем

, (26.5)

. (26.6)

Поскольку

,

то d₁ и d_{2 соответственно равны:}

и

.

Эти результаты были впервые получены Мертоном в 1973 г. Если ставка дивидендного дохода не постоянна в течение жизни опциона, то уравнения (26.5) и (26.6) можно использовать при q, равной среднему годовому дивидендному доходу в течение жизни опциона.

26.3. Оценка индексных опционов

Очень немногие люди – и они являются исключением

– способны думать и чувствовать, возвысившись

над настоящим моментом.

Карл фон Клаузевиц, 1780-1831

При оценке индексного опциона обычно предполагается, что изменение биржевых индексов следует модели геометрического броуновского движения. Это предположение позволяет при оценке индексных опционов использовать уравнения (26.5) и (26.6), которые можно преобразовать, исходя из условия, что в начальный момент времени t = 0. Тогда эти уравнения будут иметь вид

, (26.7)

(26.8)

где

(26.9)

(26.10)

Уравнения (26.7) и (26.8) могут использоваться, исходя из предположения, что дивиденды выплачиваются постоянно по неизменной процентной ставке. Фактически, это предположение может быть устранено. Все, что для этого требуется - это возможность оценить дивидендный доход заранее. Переменная q должна быть принята равной среднему значению годового дивидендного дохода в течение действия опциона.

Пример 26.3. Определить цену европейского биржевого индексного опциона пут при следующих исходных данных:

срок исполнения опциона через 6 месяцев;

текущий биржевой индекс –100 пунктов;

цена исполнения опциона - 95 пунктов;

безрисковая процентная ставка – 10 % в год;

дивидендный доход – 5 % в год;

волатильность изменения индекса – 20 % в год.

Выпишем исходные данные: S = 100, X = 95, r = 0,10, q = 0,05, σ = 0,20, T = 0,5.

Для определения d₁ и d₂ подставим эти значения в формулы (26.9) и (26.10).

d₁ = [ln (100/95) + (0,10 – 0,05 + 0,20²/2) × 0,5] / (0,20 ) = 0,6102;

d₂ = 0,6102 – 0,20 = 0,4688.

По рассчитанным значениям d₁ и d₂ методом экстраполяции по данным Приложения 1 находим значения N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N(0,6102) = 0,7291, N(d₂) = N(0,4688) = 0,6804;

N(-d₁) = N(- 0,6102) = 0,2709, N(-d₂) = N(- 0,4688) = 0,3196.

Полученные результаты подставим в формулу (26.8), которая дает значение цены опциона пут:

2,4648 долл.