Контрольные вопросы и задачи к гл. 25

1. Предположим, что стохастический процесс выражается марковским процессом. Можно ли в этом случае предсказать будущее значение переменной только на базе ее текущего значения?

2. Какими двумя свойствами должен обладать интервал времени t,, для того чтобы переменная z подчинялась процессу Винера?

3. Текущая цена акции равна 50 евро. Инвестор предполагает, что через месяц цена этой акции может или вырасти до 55 долл. или снизиться до 45 долл. Определите цену европейского опциона колл, если безрисковая процентная ставка равна 10 % в год, страйк цена опциона равна 48 долл.

4. Можно ли интерпретировать средне квадратичное отклонение приращений цены акции за достаточно длинный период времени T как ?

5. Напишите, как определяются значения переменных u, d и p, которые необходимы для построения биноминального дереве динамики цены актива?

6. Срок обращения американского опциона пут 6 месяцев. В основе опциона лежат бездивидендные акции, текущая цена которых 65 евро, страйк цена опциона 65 евро, безрисковая процентная ставка 12 %, волатильность цены базисной акции 38 %. Срок обращения опциона разделите на интервалы продолжительностью 2 месяца и определите цену этого опциона, используя биноминальное дерево.

7. Можно ли построить биноминальное дерево для оценки американского индексного опциона, если дивидендная доходность индекса является функцией от времени?

25. Американский опцион пут имеет срок обращения 9 месяцев. В основе опциона лежат бездивидендные акции, текущая цена которых 30 долл., страйк цена опциона 27 долл., безрисковая процентная ставка 14 %, волатильность цены базисной акции 45 %. Срок обращения опциона разделите на интервалы продолжительностью 3 месяца и определите цену этого опциона, используя биноминальное дерево.

9. Какое основное свойство дифференциального уравнения Блэка-Шоулза делает безрисковую оценку наиболее важным инструментом для анализа стоимости производных ценных бумаг?

10. Назовите основные допущения, которые необходимо принять, чтобы получить дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза.

Глава 26. Ценообразование опционов с использованием модели Блэка-Шоулза

Шарлатан достигает великой власти, просто открывая для людей возможность верить в то, во что им уже хотелось верить.

Грете де Франческо

26.1. Модель Блэка-Шоулза

В начале 70-х годов Фишер Блэк и Майрон Шоулз предложили первую модель опционного ценообразования. Одним из их выводов являлась возможность формирования хорошо хеджированной позиции, которую можно поддерживать за счет смешения длинных и коротких позиций в опционах и базовых для них ценных бумагах. Такая позиция, являясь практически безрисковой, должна давать краткосрочную безрисковую доходность.

Формулы Блэка-Шоулза в упрощенном виде позволяет определить стоимость любой производной ценной бумаги, в основе которой лежат акции, по которым не выплачиваются дивиденды.

Результатом теории Блэка-Шоулза стало решение дифференциального уравнения, описывающего процесс оценки опциона. Предложенная ими компактная формула цены базируется на уверенности в строгости предложенного ими набора допущений о характере функционирования рынка ценных бумаг. Предполагалось, что ставки краткосрочных заимствований и кредитов должны быть постоянными и равными, что изменчивость поступлений от базовых активов постоянна, что издержки по сделкам, требования по марже, налогам и коротким продажам несущественны, что сделки совершаются постоянно и что переход от одной цены к другой совершается плавно.

Предложенная в 1973 г. Блэком и Шоулзом формула может использоваться для оценки европейских опционов, в основе которых лежат акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Если принять цену опциона колл как с и цену опциона пут – р, то формула Блэка-Шоулза для оценки опционов колл и пут будет иметь следующий вид:

; (26.1)

; (26.2)

где (26.3)

и . (26.4)

В формулах (26.1) - (26.4) приняты следующие обозначения: S – курсовая цена акции, лежащей в основе опциона; X – цена исполнения опциона (страйк цена); r – безрисковая процентная ставка; T – продолжительность жизни опциона, в годах; σ – изменчивость (волатильность) цены акции, лежащей в основе опциона; N(x) – интегральная (кумулятивная) функция логорифмического нормального распределения (приведена в Приложении 1).

Пример 26.1. Определить стоимость европейского опциона колл, срок исполнения которого наступает через три месяца при следующих исходных данных: курсовая стоимость акции 60 долл., страйк цена опциона колл 65 долл., период до наступления срока исполнения опциона - 0,25 года. Безрисковая процентная ставка 8 % в год, волатильность цены базисной акции 30 % в год.

Таким образом, S = 60, X = 65, T = 0,25, r = 0,08, σ = 0,3.

Подставив эти значения в (26.3) и (26.4) получим:

,

.

Подставив значения d₁ и d₂ а также кумулятивную величину нормального распределения из Приложения 1 в формулу (26.1) мы найдем цену европейского опциона колл. Величина N (d₁) = N (- 0,3253) = 0,3725 и N (d₂) = N (- 0,4753) = 0,3173.

На основе полученных данных стоимость опциона колл равна:

c= 60N(d₁)– 65e^-0,08×0,25N(d₂)= 60×0,3725–65×0,9802×0,3173=2,1339 долл.

Рассмотрим европейский опцион на акции с условием, что по ним выплачиваются дивиденды наличными деньгами (D) один или несколько раз в течение жизни опциона. В этом случае для оценки стоимости опциона можно использовать формулу Блэка-Шоулза, если значение S уменьшить на величину приведенной стоимости полученных дивидендов, то есть в формулах (26.1), (26.2), (26.3) и (26.4) вместо S подставить следующее выражение:

(t_n < T).

Пример 26.2. Определить стоимость европейского опциона колл, в основе которого лежат акции, при следующих исходных данных:

курсовая цена акции – 100 долл.;

страйк цена опциона – 90 долл.;

срок жизни опциона – 9 месяцев;

безрисковая ставка процента – 10 % в год;

волатильность цены базисной акции – 25 % в год.

Дивиденды выплачиваются наличными через три и шесть месяцев со дня заключения опционного контракта (два раза в течение срока обращения опциона) в сумме 3,5 долл. на акцию.

Следовательно, имеем следующие исходные данные:

S = 100, X = 90, T = 0,75, r = 0,1, σ = 0,25, D₁ =D₂ =3,5, t₁ = 0,25, t₂ = 0,5.

Прежде всего определим цену акции за минусом приведенной величины выплаченных дивидендов:

100 – (3,5 e^{-0,1 × 0,25} + 3,5 e^{-0,1 × 0,5}) = 92,908 долл.

Подставив полученное значение S в формулы (26.3) и (26.4), находим d₁ и d₂.

= 0,6016,

= 0,6016 - = 0,3851.

Методом экстраполяции по данным Приложения 1 находим значения N(d₁) и N(d₂):

N(d₁) = N (0,6016) = 0,7262; N(d₂) = N (0,3851) = 0,64926.

Подставив значения N(d₁) и N(d₂) в формулу (26.1), находим стоимость опциона колл:

с = 92,908 × 0,7262 – 90 × e^{-0,1 × 0,75} × 0,6499 = 13,2077 долл.