25.7. Безрисковые оценки

Делай сам все то, что тебе приятно, вещи же неприятные

предоставь делать за тебя другим. Первое поможет войти

в милость, а второе – отразить недоброжелательство.

Бальтазар Грациан

Безрисковая оценка является наиболее важным инструментом для анализа производных ценных бумаг. Она формируется как результат одного из свойств дифференциального уравнения Блэка-Шоулза. Переменные, которые появляются в уравнении - текущая цена базисной акции, время, колебания цены на бирже, и безрисковая норма процента, независят от рисковых предпочтений. Поэтому при определении f может использоваться любой набор рисковых предпочтений. В частности, может быть сделано предположение, по которому все инвесторы являются нейтральными к риску.

В мире, где инвесторы нейтральны к риску, ожидаемое значение дохода по всем ценным бумагам равно безрисковой процентной ставке r, поскольку такие инвесторы не требуют вознаграждения за риски. Также верно, что приведенная стоимость любого потока наличности в безрисковом мире может быть получена путем дисконтирования его ожидаемой стоимости по безрисковой ставке. Предположение, что мир является безрисковым, значительно упрощает анализ производных ценных бумаг.

Рассмотрим производную ценную бумагу в виде европейского опциона, по которому производятся выплаты, зависящие от цены на базисные акции в момент времени T. Прежде всего, ожидаемая стоимость производной ценной бумаги в момент времени T рассчитана при условии, что ожидаемая доходность акции выражается показателем безрисковой доходности r, а не . Эта ожидаемая стоимость затем приводится к текущему времени с использованием ставки дисконтирования r.

Предположение отсутствия риска - искусственное допущение для получения решений дифференциального уравнения Блэка-Шоулза. Когда мы двигаемся от окружения, нейтрального к риску, к окружению, нерасположенному к риску, происходят две вещи. Ожидаемый темп роста цены акции изменяется и учетная ставка, которая должна использоваться для выплат по производным ценным бумагам, тоже изменяется. Эти два эффекта компенсируют друг друга.

Обратимся к биноминальной модели, которая использовалась для оценки опциона в примере, приведенном в разделе 25.5, где шла речь об акции с текущей ценой 25 долл. Предположим, что в конце месяца цена акции может повыситься до 28 долл. или снизиться до 22 долл.

В качестве производной ценной бумаги в примере выступает опцион колл со страйк ценой 26,5 долл. Отметим, что при расчете цены опциона в разделе 25.5 не учитывались вероятности повышения или понижения цены базисной акции. Это можно объяснить тем, что цена опциона не зависит от ожидаемого дохода по акции.

Ниже мы покажем, что цена опциона колл может быть определена с использованием безрисковой оценки. Предположим, что в безрисковом мире, ожидаемый доход по акции должен выражаться безрисковой процентной ставкой, равной 1 % в месяц, поэтому вероятность р повышения цены базисной акции должна удовлетворять условию:

28 × p + 22 × (1 - p) = 25×1,01.

Решив это уравнение, находим, что p = 0,5417. Ожидаемая стоимость опциона колл через месяц при использовании полученного значения p равна:

0,5417 × 1,5 + 0,4583 × 0 = 0,81255 долл.

Это величина выражает ожидаемая конечную стоимость опциона колл в безрисковом мире. Для определения приведенной расчетной ожидаемой стоимости необходимо последнее значение дисконтировать по безрисковой процентной ставке:

0,81255/1,01 = 0,8045 долл.

Мы получили то же значение стоимости опциона, что и в разделе 25.6. Таким образом, безрисковые арбитражные рассуждения и безрисковая оценка опциона дают одинаковые результаты. Можно показать, что это всегда выполняется для биноминальной модели.

Предположим, что норма процента является постоянной и равняется r. Рассмотрим длинную срочную сделку со сроком погашения T и с ценой поставки K. Выше было установлено, что стоимость контракта при погашении равна:

S_T – К,

где S_T - цена акции во время T. На основе наших рассуждений о безрисковой оценке, стоимость срочного контракта в момент времени t (< T) представляет собой ее ожидаемую стоимость в момент времени T в безрисковом мире, продисконтированную за время t по безрисковой процентной ставке. Обозначим стоимость срочного контракта в момент времени t как f. Тогда стоимость контракта равна:

, (25.20)

где обозначает ожидаемую стоимость в безрисковом мире. Поскольку К постоянно, то уравнение (25.20) можно преобразовать: :

. (25.21)

Темп роста цены акции, , становится равным r в безрисковом мире. Из свойства логнормального распределения вытекает, что ожидаемое значение цены акции S_T можно записать как

. (25.22)

Подставляя уравнение (25.22) в уравнение (25.21) получаем

. (25.23)

Выражение для f удовлетворяет условиям дифференциального уравнения Блэка-Шоулза.

Резюме

Процесс с непрерывной переменной характеризуется тем, что основная переменная может иметь любое значение в пределах некоторого диапазона.

На практике полагают, что биржевые цены следуют марковскому процессу. Если цена акции на бирже следует марковскому процессу, предсказания об изменении цены акций в будущем не должны зависеть от их цены в предшествующем периоде, например, неделю или месяц тому назад. Только соответствующая информация о сегодняшней текущей цене акции может служить основой для прогнозирования будущего изменения цены акции.

Цена акции характеризуется непостоянством. Из этого свойства цены акции можно сделать разумное предположение, что дисперсия процентного дохода по акции на коротком интервале времени , имеет одно и то же значение независимо от цены акции.

Если принять как норму дисперсии пропорционального изменения цены акции во времени, то выражает норму дисперсии пропорционального изменения цены акции в период времени и, следовательно, является дисперсией фактического изменения цены акции в период времени . Таким образом, мгновенная норма дисперсии равна .

Цена акции может быть представлена процессом Ито, который характеризуется мгновенной ожидаемой нормой отклонения, равной и мгновенной нормой дисперсии, равной . Это может быть выражено следующим образом:

.

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза является независимым от рисковых предпочтений, поэтому при определении f может использоваться любой набор рисковых предпочтений.