25.6. Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза

Нельзя быть слишком прямолинейным. Пойди

и погляди на лес. Прямые деревья срубают,

а искривленные оставляют расти.

Каутилья

Дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза - уравнение определения цены f производной ценной бумаги, зависящей от стоимости бездивидендной акции, лежащей в ее основе.

Рассматривается безрисковый портфель, включающий производную ценную бумагу и акцию. Доход портфеля устанавливается равным безрисковой процентной ставке. В анализе Блэка-Шоулза сформированный таким образом портфель остается безрисковым только в течении очень короткого периода времени.

Причиной к такому подходу формирования безрискового портфеля является то, что как на цену акции, так и на цену производной ценной бумаги влияет единственный источник неопределенности. Это означает, что в коротком интервале времени, эти два параметра совершенно коррелированны. Если сформирован соответствующий портфель, включающий акцию и производную ценную бумагу, прибыль (потеря) от акции возмещает потери (прибыль) от производной ценной бумаги так, что общая стоимость портфеля в конце короткого периода времени достоверно известна.

Примем следующие допущения, чтобы получить дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза:

1. Цена акции описывается уравнением (25.6) (раздел 25.3), при постоянных значениях  и .

2. Разрешена короткая продажа ценных бумаг с полным использованием доходов.

3. Не имеется затратных сделок или налогов. Все ценные бумаги совершенно делимы.

4. Не выплачиваются дивиденды в течение срока действия производной ценной бумаги.

5. Не имеется безрисковых арбитражных возможностей.

6. Торговля акциями непрерывна.

7. Безрисковая процентная ставка r является постоянной и одинаковой для всех сроков погашения.

Предположим, что цена акции, равная S, описывается процессом

. (25.12)

Примем, что f - это цена производной ценной бумаги, зависящей от S. Переменная f должна быть некоторой функцией S и t, следовательно, из уравнения находим:

. (25.13)

Дискретные версии уравнений (25.12) и (25.13):

(25.14)

и

(25.15)

где Δf и ΔS - изменения в f и S в малом интервале времени Δt. Повторим из обсуждения леммы Ито в разделе 25.1 то, что винеровские процессы, лежащие в основе f и S - одинаковы. Другими словами, Δz в уравнениях (25.15) и (25.16) равны.

Держатель этого портфеля имеет короткую позицию по производной ценной бумаге и длинную – по акциям в количестве . Определим П как стоимость портфеля:

. (25.16)

Изменение ΔП в стоимости портфеля за период времени Δt составит:

. (25.17)

Подставив уравнения (25.14) и (25.15) в уравнение (25.17), получим:

. (25.18)

Поскольку это уравнение не включает Δz, портфель П должен быть безрисковым в течение времени Δt. Предположения, высказанные в предшествующем разделе, подразумевают, что портфель должен мгновенно приобретать ту же самую норму дохода, как и другие краткосрочные безрисковые ценные бумаги. Если доход получается больше этой нормы, участники арбитражной сделки могли бы получать безрисковую прибыль, продав безрисковые ценные бумаги, и используя доходы, чтобы купить портфель; если меньше - они могли бы получать безрисковую прибыль, продав портфель и купив безрисковые ценные бумаги. Это означает:

где r - безрисковая норма процента. Подстановка уравнений (25.16) и (25.18) дает:

,

так, что

. (25.19)

Уравнение (25.19) - дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза. Оно имеет множество решений, соответствующих различным производным ценным бумагам, которые могут определяться при цене S для базисной переменной. Цена подобной производной ценной бумаги, полученная решением уравнения, зависит от используемых граничных условий. Они определяют значения производной ценной бумаги в границах возможных значений S и t. В случае европейского опциона колл, ключевое граничное условие имеет вид: , когда t = T. Для европейского опциона пут это ограничение имеет вид: , когда t = T.

Портфель является безрисковым только в течение бесконечно малого периода времени. С изменением S и t, также изменяется. Чтобы портфель был безрисковым, необходимо непрерывно изменять относительные соотношения производной ценной бумаги и акций в портфеле.

Срочный контракт на бездивидендные акции - это производная ценная бумага, зависящая от акции. Поэтому она должна удовлетворять уравнению (25.19). Из уравнения (24.6), стоимость форвардного контракта f задается как:

где К - цена поставки базисного актива контракта. Это означает что

.

Подставим эти значения в левую часть уравнения (25.19) и мы получим:

.

Полученное выражение равно rf, и это подтверждает, что стоимость форвардного контракта действительно удовлетворяет уравнению (25.19).