25.5. Биноминальная модель определения цены опциона
Все люди совершают ошибки, но
мудрецы скрывают свои промахи, тогда
как глупцы выставляют их напоказ.
Бальтазар Грациан
Биномиальную модель изменения цены акции позволяет представить непрерывное изменение в виде дискретной последовательности. Предположим, что начальная цена равна S. Следуя биномиальной модели, цена акций может принять одно из двух значений (рис. 25.2) за короткий интервал времени длиною Δt: увеличиться до значения Su с вероятностью p и уменьшиться до значения Sd с вероятностью 1- р.
Su
p
S
1-р Sd
Рис. 25.2. Биномиальная модель
Переменные u, d и p должны быть выбраны таким образом для короткого интервала времени, чтобы ожидаемая норма доходности от акции через интервал Δt была равна µΔt, а дисперсия σ2Δt:
.
Ожидаемая курсовая цена акции в интервале Δt равна:
.
(25.11)
Дисперсия курса акций за время Δt
Это равно
.
Рис. 25.3. Динамика изменения курсовой цены акции за 4 периода с использованием биномиальной модели
Выразив ех = 1 + х + х2/2 + х3/6 +…, получаем, что дисперсия курса акций равна σ2S2Δt при пренебрежении величинами порядка Δt2 и выше.
Видно, что при Δt→0 эта биномиальная модель движения цены акции становится геометрической моделью броуновского движения.
Пример 25.4. Предположим, что ожидаемая норма доходности акции компании «And-Ray» равна 14% в год, а среднее квадратичное отклонение (волатильность цены акции) 26% в год. Используется биномиальная модель изменения цены акции в период времени 0,04 года (приблизительно 2 недели), тогда получается µ = 0,14, σ = 0,26, Δt = 0,04. Из предыдущих уравнений следует:
;
;
.
Предположим, что начальная цена акции компании «And-Ray» была равна 80 долл. Возможные изменения за четыре временных интервала длинной Δt изображены на рис. 25.4. Вероятность увеличения курса всегда равна 0,541. а вероятность падения цены всегда равна 0,459. Для цены акции в 84,26 долл., оказавшейся в конце 4 периода должно было предшествовать три повышающих изменения и одно понижающее. Существует 4 способа, по которым это могло произойти: DUUU, UDUU, UUDU и UUUD, где U означает повышающее изменение, D - понижающее. Отсюда, вероятность того, что курс в конце 4 периода будет равным 88,76 долл. рассчитывается как 4×0,5413 ×0,459 = 0,291.
Вероятности того, что курсы будут 98,47, 80, 72,11 и 65 долл., соответственно, равны 0,086; 0,370; 0,209 и 0,044.
98,47
93,49
88,76
88,76 84,26
84,26
80
80 80
75,95
75,95 72,11
72,11
68,46
65
Рис. 25.4. Моделирование изменения цены акции по данным примера 25.4
Рассмотрим стоимостную оценку опциона колл европейского стиля на основе простой биноминальной модели. Этот пример даст возможность понять основы модели Блэка-Шоулза, применяемой на практике для определения цены опциона.
Предположим, что текущая цена акции равна 25 долл. Известно, что через месяц цена акции может повыситься до 28 или понизиться до 22 долл. Рассмотрим опцион колл европейского стиля со страйк ценой 26,5 долл., в соответствии с которой держатель этого опциона через месяц может купить акции, лежащие в основе данного опциона по 26,5 долл. за акцию. Если цена акции повысится до 28 долл., то стоимость опциона будет равна 1,5 долл. При снижении цены акции до 22 долл., стоимость опциона будет равна нулю. Изменение цены акции графически представлено на рис. 25.5.
28
долл. – цена акции
1,5 долл. – цена опциона
25 долл.
22 долл. – цена акции
0 долл. – цена опциона
Рис. 25.5. Модель изменения цены базисной акции и опциона
Акция с длинной позиция – это акция, которая придерживается в портфеле в ожидании повышения цены. При росте курсовой цены акции инвестор может продать ее с прибылью. Короткая позиция – это позиция, занимаемая инвестором по ценным бумагам, при которой объем продаж ценных бумаг, совершенных инвестором, превышает количество ценных бумаг, находящихся у него. Инвестор рассчитывает на падение курсовой цены на ценные бумаги, что позволит ему закрыть свою короткую позицию с прибылью.
Рассмотрим портфель, включающий длинную позицию по акциям в количестве k долей акции и один опцион колл с короткой позицией. Стоимость такого портфеля будет равна 28 k – 1,5 при росте курсовой цены акции или 22 k при снижении цены акции. При k = 0,25 указанные стоимости портфеля будут равны:
28 × 0,25 – 1,5 = 22 × 0,25 = 5,5 долл.
Следовательно, при k = 0,25 портфель является безрисковым независимо от того, что будет происходить со стоимостью портфеля, равной 5,5 долл., через месяц.
Текущая стоимость портфеля, при k = 0,25 равна:
25 × 0,25 – f = 6,25 – f.
где f – текущая цена опциона колл.
Безрисковый портфель, при отсутствии возможности проведения арбитражной сделки, должен обеспечить доход по безрисковой процентной ставке. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 1 % в месяц (с ежемесячным начислением сложных процентов). Следовательно, можно записать
1,01(6,25 – f) = 5,5, откуда f = 6,25 – (5,5 / 1,01) = 0,8045.
Таким образом, стоимость опциона колл равна 0,8045 долл.