25.4. Анализ модели ценообразования акции

Я скорее предам весь мир, чем

позволю миру предать меня.

Цао Цао, 155-200

Модель поведения цены акции, представленная уравнением (25.6), иногда представляется как модель геометрического броуновского движения. Версия модели для дискретного времени имеет вид:

. (25.7)

Переменная выражает изменение цены акции S в малом интервале времени , а e - случайная выборка из стандартного нормального распределения (то есть нормальное распределение со средним, равным нулю и со среднеквадратичным отклонением, равным 1). Параметр является ожидаемой ставкой доходности акции в единицу времени, а параметр выражает волатильность цены акции. Оба эти параметра приняты постоянными.

Левая сторона уравнения (25.7) представляет собой пропорциональный доход, обеспечиваемый акцией за малый период времени . Выражение - ожидаемая величина этого дохода, в то время как выражение представляет стохастическую компоненту дохода. Дисперсия стохастической составляющей и, следовательно, дохода в целом равна .

Уравнение (25.7) показывает, что является нормально распределенной величиной со средней, равной , и со стандартным отклонением, равным . Другими словами:

, (25.8)

где обозначает нормальное распределение со средним m и cо стандартным отклонением s.

Предположим, что ожидаемая доходность акции равна 15 % в год и что стандартное отклонение доходности (то есть волатильность) равно 20% в год. Если время измерено в годах, из этого следует, что μ = 0,15 и σ = 0,20. Предположим что Δt=0,01года. Таким образом, мы рассматриваем изменения цены акции в интервале времени продолжительностью 0,01 года (или 3,65 дня). Из этого следует, что ΔS/S имеет нормальное распределение со средним значением, равным 0,0015 (0,15 × 0,01) и со стандартным отклонением 0,02 (0,2 × ), то есть

(0,0015; 0,02) (25.9)

Траектория цены акции может моделироваться, производя многократную выборку из (0,0015, 0,02). Первая процедура выполняется для получения выборки значения из стандартного нормального распределения, то есть (0, 1), и затем полученная выборка преобразуется в выборку для из (0,0015, 0,02) используя

. (25.10)

Покажем на следующем примере процесс определения цены акции методом Монте-Карло.

Пусть начальная цена акции равна 27 долл. На первом шаге случайное значение числа , равное 0,48, производится из выборки (0; 1). На основе уравнения (25.10) определяем случайное значение из выборки (0,0015; 0,02), которое будет равно

= 0,0015 + 0,02 × 0,48 = 0,0111.

Используя уравнение (25.9), находим изменение цены акции:

ΔS = 27 × 0,0111 = 0,3 долл.

Следовательно, цена акции на следующем этапе моделирования равна

S₁ = S₀ + ΔS = 27 + 0,3 = 27,3 долл.

На следующем шаге процедуры моделирования исходная цена акции принимается равной 27,3 долл. Процедура расчета и ΔS повторяется вновь по приведенной выше методике.

Табл. 25.1 предполагает вычисления курсовой цены акции с точностью до 0,001. Чтобы получить цену акции, которая может выступать в качестве котировочной цены, полученные значения цен должны быть округлены с точностью до 1/8 долл.

Важно понимать, что таблица показывает только возможные примеры изменения курсовой цены акции. Любая другая случайная выборка значений v₁ (в столбце 2) даст другие значения движения цены акции. Для моделирования может использоваться любой короткий промежуток времени Δt. Однако только предел, когда Δt→0, будет правильно соответствовать описанию геометрической модели броуновского движения.

Окончательная цена акции, равная 29,022 долл. (табл. 25.1), может рассматриваться как случайно выбранная цена из распределения курсовых цен акций в конце десятого временного интервала или 1/10 части года. Повторным моделированием динамики курса акций, подобно тому, как было выполнено для табл. 25.1, можем получить полное вероятностное распределение курсовой цены акции в конце 1/10 года.

Таблица 25.1

Моделирование цены акции при µ = 0,15 и σ = 0,20 в течение периода, равного 0,01 года

Курсовая цена акции в начале периода, долл.	Случайный образец v1 из ф (0, 1)	Соответствующий образец v2 из ф(0,0015; 0,02)	Изменение цены акции за период, долл.
27,000	0,48	0,0111	0,300
27,300	0,62	0,0139	0,379
27,679	1,22	0,0259	0,717
28,396	- 0,74	-0,0133	- 0,378
28,018	0,91	0,0197	0,552
28,570	- 0,56	- 0,0097	- 0,277
28,293	0,30	0,0075	0,212
28,505	- 0,98	- 0,0181	- 0,516
27,989	0,66	0,0147	0,411
28,400	1,02	0,0219	0,622
29,022	2,15	0,0445	1,291

Параметр µ - это ожидаемая норма доходности, получаемая инвестором за короткий период времени. Эти периоды исчисляются в годовом выражении и записываются как доли. Многие инвесторы требуют большую норму доходности, что вынуждает их идти на большие риски. Более точно, µ зависит от той части риска, которая не может быть снижена инвестором за счет диверсификации. Оно также зависит от процентной ставки. Чем выше процентная ставка, тем выше ожидаемая норма доходности на акцию. В среднем, µ примерно на 8 % выше, чем доходность безрисковых инвестиций, таких как государственные обязательства. Например, когда доходность государственных облигаций составляет 8 % годовых или 0,08, величина µ равна 0,16.

Отметим, что мы не должны касаться факторов, определяющих детально значение µ, поскольку стоимость производных ценных бумаг зависит от цены базисных акций и обычно не зависят от µ.

Параметр σ, выражающий колеблемость курса акций, наоборот, очень важен для определения значений большинства непредвиденных требований. Распространенные значения σ для акций варьируются от 0,2 до 0,4, то есть от 20 до 40 %.

Среднее квадратичное отклонение приращений цены акции за короткий период времени Δt равно . При грубом приближении среднее квадратичное отклонение приращений цены акции за достаточно длинный период времени T равен . Это значит, что в качестве приближения колеблемость может интерпретироваться как среднее квадратичное отклонение изменения курсовой цены акции в течение года.