25.3. Процесс ценообразования акции

Почитай глубину больше, чем широту. Совершенство

определяется качеством, а не количеством.

Бальтазар Грациан

Рассмотрим стохастический процесс изменения цены акции, по которой не выплачивается дивиденд. Можно предположить, что изменение цены акции следует обобщенному процессу Винера. Из этого вытекает наличие постоянной ожидаемой нормы отклонения и постоянной нормы дисперсии. Однако, эта модель не оправдывает ожиданий при рассмотрении ключевых аспектов формирования цены акции. Это обусловлено тем, что ожидаемая норма доходности, которую хочет иметь инвестор, инвестируя свои финансовые ресурсы в покупку акций, не зависит от цены акции. Если, например, инвестор ожидает доходность в 15% в год при покупке акции ценой 5 долл., то он будет желать получить такую же доходность, если акция будет стоить 60 долл.

Отсюда следует неуместность предположения о постоянной ожидаемой норме отклонения цены акции и возникает необходимость другого предположения: ожидаемое отклонение цены акции, выраженное как часть цены акции, является постоянным. Из этого следует, что при цене акции, равной S, ожидаемая норма отклонения цены акции равна для некоторого постоянного параметра . Таким образом, для малого интервала времени ожидаемое увеличение цены акции S составит . Параметр является ожидаемой нормой дохода на акцию, выраженной в долях единицы.

Если норма дисперсии цены акции всегда равна нулю, то из принятой модели следует:

или .

Отсюда можно записать:

, (25.5)

где - цена акции в период времени, равном нулю.

Уравнение (25.5) показывает, что когда норма дисперсии равна нулю, цена акции растет по непрерывной сложной ставке в единицу времени.

Конечно, на практике цена акции характеризуется непостоянством. Из этого свойства можно сделать разумное предположение, что дисперсия процентного дохода по акции на коротком интервале времени , имеет одно и то же значение независимо от цены акции. Другими словами, инвестор столь же неуверен относительно величины процентного дохода по акции при ее цене 5 или 60 долл.

Определим как норму дисперсии пропорционального изменения цены акции во времени. Это означает, что выражает норму дисперсии пропорционального изменения цены акции в период времени и, следовательно, является дисперсией фактического изменения цены акции в период времени . Таким образом, мгновенная норма дисперсии равна .

Эти аргументы позволяют сделать вывод, что цена акции может быть представлена процессом Ито, который характеризуется мгновенной ожидаемой нормой отклонения, равной и мгновенной нормой дисперсии, равной . Это может быть выражено следующим образом:

или . (25.6)

Уравнение (25.6) является наиболее широко используемой моделью поведения цены акции на бирже. Переменная обычно выражает изменчивость цены акции (волатильность цены акции). Переменная выражает ожидаемую ставку дохода по акции.

Пример 25.3. Рассмотрим акцию, по которой не выплачивается дивиденды. Предположим, что такая акция имеет волатильность цены 28 % в год и обеспечивает ожидаемый доход, который начисляется по сложной непрерывной ставке, равной 16 % в год. В этом случае = 0,16 и = 0,225. Цену акции можно определить из следующего выражения:

.

Если S - цена акции на бирже в конкретный период времени, и - увеличение цены акции в следующем малом интервале времени, то предыдущее выражения примет вид:

.

где  - случайная выборка из стандартного нормального распределения. Примем следующие исходные данные: исходная цена акции равна 80 долл., интервал времени 15 дней или 0,0411 года. Величину изменения цены акции за этот период при заданных выше значениях ожидаемой ставки доходности и волатильности цены акции можно найти из выражения (10,77), подставив исходные данные:

S= 80×(0,16×0,0411+0,28× ) = 80×(0,00658+0,0568).

Полученный результат позволяет сделать вывод, что увеличение цены происходит в соответствии с нормальным законом распределения со средним значением, равным 0,658 долл. и со среднеквадратическим отклонением, равным 5,68 долл.