25.2. Процесс Винера

Лучшая стратегия – всегда быть сильнейшим;

сначала в общем, затем – в определяющих пунктах.

Карл фон Клаузевии, 1780-1831

Модели поведения биржевых цен могут выражаться в терминах винеровского процесса. Процесс Винера - частный случай марковского стохастического процесса.

Рассмотрим малый интервал времени t и определим Δz как изменение величины z в течение t. Интервал t должен обладать двумя свойствами, для того чтобы переменная z подчинялась процессу Винера.

Свойство 1.  z связана с t уравнением:

 z = , (25.1)

где  - случайная выборка из стандартного нормального распределения (то есть нормальное распределение со средним равным нулю и стандартным отклонением, равным 1).

Свойство 2. Значения z для любых двух различных коротких интервалов времени t независимы.

Это следует из свойства 1, поскольку z имеет нормальное распределение

со средним  z = 0

со стандартным отклонением

с дисперсией  z = t.

Свойство 2 означает, что z следует марковскому процессу.

Рассмотрим увеличение значения переменной z в течение относительно длительного периода времени Т, и обозначим это как [z (T) - z (0)]. Оно может быть рассмотрено как сумма увеличений z в N маленьких интервалах времени длинной t, где N =Т/t

Таким образом

(25.2)

где _i (i = 1, 2, ..., N) – случайные выборки из стандартного нормального распределения. На основании свойства 2 можно утверждать, что e_i независимы друг от друга. Это следует из уравнения (25.2), согласно которого распределено по нормальному закону

со средним значением [ ] = 0,

с дисперсией [ ] =N t = T,

со стандартным отклонением [ ] = .

Таким образом, в любом интервале времени T увеличение значения переменной, которая следует процессу Винера, будет иметь нормальное распределение со средним, равным нулю, и со стандартным отклонением, равным . Из этого становится ясным, почему z определяется как произведение , а не как произведение et. Отметим, что дисперсия для независимого стандартного отклонения обладает свойством аддитивности, а среднеквадратическое отклонение этим свойством не обладает. Следовательно, для стохастического процесса изменение дисперсии переменной пропорционально продолжительности рассматриваемого времени

Пример 25.1. Предположим, что первоначальное значение переменной z, отвечающей условиям процесса Винера, равно 25 (продолжительность времени измеряется в годах). В конце первого года значение этой переменной имеет нормальное распределение, среднее значение 25 и среднеквадратическое отклонение 1. В конце второго года переменная с нормальным распределением имеет среднее значение 25 и среднеквадратическое отклонение , или 1,414. Неопределенность относительно прогнозного значения переменной в будущем, измеренное его среднеквадратическим отклонением, увеличивается пропорционально квадратному корню из продолжительности времени.

В простом дифференциальном исчислении обычно малые изменения стремятся к своему пределу вследствие приближения этих изменений к нулю. Таким образом, отношение в своем пределе становится dy/dx. Следовательно, уравнение (1) при dt  0 можно переписать в виде:

Основной процесс Винера, который до сих пор рассматривался, имеет нулевую норму смещения и норму дисперсии, равную 1,0. Нулевая норма означает, что ожидаемое значение переменной я в будущем будет равна ее текущему значению. Дисперсия, равная 1,0, означает, что дисперсия изменения переменной x в интервале времени Т равна 1,0*Т.

Обобщенный процесс Винера для переменной может быть определен в терминах следующим образом:

, (25.3)

где a и b – постоянные коэффициенты.

Чтобы понять уравнение (25.3) полезно рассмотреть отдельно два компонента уравнения, расположенных в правой его части. Из выражения следует, что переменная имеет ожидаемую норму отклонения, равную в единицу времени. Если исключить выражение , то уравнение (25.3) примет вид:

,

из которого следует, что или

где - значение переменной в период времени, равном нулю. В интервале времени Т переменная возрастает на величину .

Выражение в правой части уравнения (25.3) может рассматриваться как дополнительная помеха или изменчивость пути переменной . Величина этой помехи или изменчивости составляет для процесса Винера раз.

Для малого интервала времени, равное , изменение значения , равное , можно определить на основе уравнений (25.1) и (25.3):

,

где e случайная выборка из стандартного нормального распределения. Таким образом, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:

среднее значение распределения

среднеквадратическое отклонение и

дисперсия .

Исходя из этого, можно утверждать, что изменение переменной в любом временном интервале Т подчиняется закону нормального распределения и имеет параметры:

среднее значение распределения

среднеквадратическое отклонение ;

дисперсия

Таким образом, обобщенный процесс Винера, выраженный уравнением (25.3) имеет ожидаемую норму отклонения, равную величине , и норму дисперсии (дисперсию в единицу времени), равную . Графически этот процесс представлен на рис. 25.1.

Обобщенный процесс Винера

dx = adt +bdz

dx = adt

Процесс Винера, dz

T

Переменная x

Рис. 25.1. Обобщенный процесс Винера (а = 0.3 и b = 1.5)

Пример 25.2. Рассмотрим ситуацию, в которой остаток кассовой наличности в компании подчиняется обобщенному процессу Винера с отклонением фактической наличности от расчетной величины в 20 % в год и с дисперсией 625 тыс. руб. в год. Исходное значение остатка кассовой наличности равно 60 тыс. руб. В конце первого года остаток кассовой наличности в компании будет иметь нормальное распределение со средним значением, равным 80 тыс. руб. (60 + 20 × 1), и со среднеквадратичным отклонением, равным 25 .

Если рассмотреть остаток кассовой наличности в компании через 6 месяцев, то мы получим следующие результаты: среднее значение остатка кассовой наличности в компании будет равно 70 тыс. руб. и среднеквадратическое отклонение остатка кассовой наличности будет равно 17,68 тыс. руб. (25 ).

Приведенные расчеты показывают, что неопределенность в величине остатка кассовой наличности в компании, измеренная через показатель среднеквадратического отклонения, увеличивается с ростом временного интервала, на который делается прогноз. В некоторые моменты времени остаток кассовой наличности в компании может принимать отрицательное значение, что можно интерпретировать как привлечение компанией кредитов.

Процесс Ито представляет собой обобщенный процесс Винера, где параметры a и b являются функциями значения основной переменной x и времени t. Алгебраически процесс Ито может быть представлен в виде уравнения:

(25.4)

В процессе Ито и ожидаемая норма отклонения, и норма дисперсии изменяются во времени.