Форвардные контракты на ценные бумаги с доходом

Рассмотрим форвардные контракты на ценные бумаги, приносящие их держателю точно прогнозируемый денежный доход. К таким ценным бумагам можно отнести привилегированные акции, по которым выплачиваются известные дивиденды, и купонные облигации. Пусть D – приведенная стоимость дивидендов, полученных в течение срока жизни форвардного контракта. В качестве показателя дисконтирования принимается безрисковая процентная ставка.

Для того чтобы не было возможности для арбитража, F и S должны удовлетворять следующему условию:

F = (S  D) e ^{r(T  t)}. (24.7)

Для подтверждения этого условия, предположим, что F>(SD) e ^{r(T  t)}. Арбитражер сможет взять кредит, купить актив и продать форвардный контракт. Актив затем будет продан за F в момент времени T согласно условиям форвардного контракта. Предполагая, что полученная прибыль идет на оплату части кредита, получаем, что в момент времени T необходимо доплатить в счет погашения кредита сумму, которая равна (SD) e^{r(T  t)}. В этом случае в момент времени T будет получена прибыль F (S  I) e ^{r(T  t)}.

Теперь предположим, что F < (S  D) e ^{r(T  t)}. Арбитражер может продать актив, инвестировать выручку, заняв длинную позицию в форвардном контракте. В этом случае в момент времени T будет получена прибыль в размере (S  D) e ^{r(T  t)}  F.

Пример 24.6. Рассмотрим десятимесячный форвардный контракт на акцию ценой в 53 долл. Предположим, что безрисковая ставка процента непрерывного начисления для ценных бумаг всех сроков истечения равна 8 %. Также предположим, что дивиденды выплачиваются в сумме 0,78 долл. на акцию после 3-х месяцев, 6-ти и 9-ти месяцев. Приведенная стоимость денежных потоков в виде дивидендов D задается следующим образом:

D = 0,78 e ^{ 0,02} + 0,78 e ^{ 0,04} + 0,78 e^{ 0,06} = 2,25 долл.

Переменная (T – t) составляет 0,8333 года, поэтому форвардная цена задается

F = (53 – 2,25) e ^{0,08 × 0,8333} = 54,25 долл.

Если форвардная цена была быменьше вычисленной, то арбитражер мог продать акции и купить форвардные контракты. Если форвардная цена была бы выше расчетной, то арбитражер мог продать форвардные контракты и купить акции.

Для более формального задания стратегии, изменим портфель Б из предыдущего примера на следующий:

Портфель Б: одна ценная бумага и кредит размером в D долл. по безрисковой ставке процента.

Доход от ценной бумаги может быть использован для уплаты кредита, поэтому этот портфель имеет такую же стоимость, как и одна единица ценной бумаги в момент времени T.

Оба портфеля должны иметь одну и ту же стоимость в момент t, равную

f + K e ^{ r( T  t )} = S – D

или f = ( S – D) – K e ^{ r( T  t )} . (24.8)

Форвардная цена F – это такая стоимость K, которая обнуляет f. С учетом этого условия на основе уравнения (24.8) получаем

F = ( S  D )e ^{r( T  t )} ,

что находится в полном соответствии с уравнением (24.7).

Пример 24.7. Рассмотрим пятилетнюю облигацию по цене 890 долл. Предположим, форвардный контракт на облигацию с ценой поставки 900 долл. имеет срок жизни один год. Выплаты по купонам в размере 65 долл. ожидаются после 6 и 12 месяцев. Вторая купонная выплата происходит непосредственно перед моментом доставки облигации по форвардному контракту. Непрерывно начисляемая ставка безрискового процента по кредитам на 6 месяцев и один год составляет 9 % и 10 % соответственно. В этом случае S = 890, K = 900, r = 0,1, T – t = 1 и

D = 65 e ^{ 0,09 × 0,5} + 65 e ^{ 0,1} = 120,95 долл.

Используя уравнение 24.8, можно определить стоимость длинной позиции по форвардному контракту (f), которая равна:

f = 890 – 120,95 – 900 e ^{ 0,1} =  45,35 долл.

Стоимость короткой позиции по форвардному контракту будет соответственно равна + 45,35 долл.