24.2. Форвардный контракт на ценные бумаги

Считай, что более мужественно не дать вовлечь

себя в схватку, чем выиграть сражение, а там, где

уже есть один вмешавшийся глупец, позаботься,

чтобы их не стало двое.

Бальтазар Грациан

Форвардный контракт на ценные бумаги без дохода

Проще всего оценить форвардный контракт, в основе которого лежат бездоходные ценные бумаги. Примерами таких ценных бумаг могут служить бездивидендные акции и дисконтные облигации.

Для отсутствия арбитражных возможностей, необходимо, чтобы между форвардной ценой F и текущей рыночной ценой S для бездоходных активов, соблюдалось следующее соотношение:

F = S e ^{r (T  t)}. (24.5)

Чтобы это показать, предположим, что F > S e ^{r (T  t)}. Инвестор может взять кредит в сумме S долларов на период времени T – t по безрисковой ставке процента, купить актив, и продать форвардный контракт и занимает короткую позицию по форвардному контракту. В момент времени T, актив продается по цене F, и тем самым выполняются условия форвардного контракта. Сумма в размере S e^{r(T  t)} используется для возврата кредита, и в момент времени T полученная прибыль составляет F  S e ^{r (T  t)} .

Предположим, что F < S e ^r(Tt). Инвестор может продать актив, инвестировать выручку на период времени T  t под процент r, и купить форвардный контракт. В момент времени T актив выкупается обратно за F, то есть форвардная позиция закрывается, и инвестор получает прибыль в размере S e ^{r (T  t)}  F.

Пример 24.4. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидендные акции, истекающий через 3 месяца. Предположим, акция стоит 45 долл., и трехмесячный безрисковый процент по кредитам составляет 6 % в год. В этом случае, T – t = 0,25, r = 0,06 и S = 45, поэтому

F = 45 e ^{0,06 × 0,25} = 45,68 долл.

Полученная величина выражает цену поставки акций по форвардному контракту, заключенному сегодня. Если действительная цена форвардного контракта будет выше 45,68 долл., то арбитражер может взять кредит, купить акции и продать форвардный контракт, что принесет ему прибыль. Если фактическая цена форвардного контракта будет ниже 45,68 долл., то арбитражер может продать акции, инвестировать выручку и купить форвардный контракт, что опять принесет ему прибыль.

Для более формального представления стратегии, рассмотрим следующие два портфеля:

Портфель А: один купленный форвардный контракт на ценную бумагу компании АВС и сумма денег, равная K e ^{ r(T  t)}.

Портфель Б: одна ценная бумага компании АВС.

В портфеле А сумма наличных, инвестированная по безрисковому проценту, вырастет на K к моменту времени T. После этого она может быть использована в качестве платежа за ценную бумагу по истечении срока контракта.

Оба портфеля в момент T будут состоять лишь из одной единицы ценной бумаги. Следовательно, они должны обладать одинаковой стоимостью и в любой более ранний момент времени t. Если бы это было не так, то инвестор мог бы получить безрисковую прибыль, купив менее дорогой портфель и продав более дорогой из них.

Следовательно,

f + K e ^{ r ( T  t )} = S

или

f = S  K e ^{ r ( T  t )} (24.6)

Когда заключается форвардный контракт, форвардная цена равна цене поставки, указанной в контракте, которая выбирается с тем, чтобы ценность контракта в момент заключения была нулевой. Форвардная цена F соответствует такому значению K, которое обеспечит f = 0 в уравнении (24.6), то есть

F = S e ^{r×(T  t)},

что согласуется с уравнением (24.5).

Пример 24.5. Рассмотрим покупку полугодового форвардного контракта на годовую дисконтную облигацию, когда цена поставки равна 945 долл. Примем, что полугодовая безрисковая ставка процента по кредитам с непрерывным начислением процентов равняется 5,5 % в год и что текущая цена облигации 925 долл. В этом случае, T  t = 0,5, r = 0,055, K = 945, S = 925, и в соответствии с уравнением (24.6) расчетная стоимость одного покупаемого форвардного контракта будет равна:

f = 925  945 e ^{ 0,5 × 0,055} = 5,63 долл.

Аналогично, стоимость продаваемого форвардного контракта составит - 5,63 долл.