Примеры решения задач по теме: «векторная алгебра».

Задача 1. Разложить вектор по векторам

Решение. Разложить вектор по векторам – значит представить его в виде

(1)

где - неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам векторов, получим

Как известно у равных векторов равны соответствующие координаты,

(2)

Решив систему (2), найдём . Следовательно, .

Задача 2. Найти вектор коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

Решение. В силу коллинеарности векторов и вектор можно представить в виде где – пока неизвестный множитель. Для его определения используем второе условие:

.

Отсюда , поэтому .

Задача 3. Найти вектор , перпендикулярный векторам и и образующий с осью Ох тупой угол, если .

Решение. Найдём вектор .

Так как перпендикулярен векторам и , то он коллинеарен вектору . Следовательно, .

По условию т.е. или . Вектор образует тупой угол с осью Ох, поэтому его проекция на эту ось должна быть отрицательной, отсюда и .

Аналитическая геометрия

Тема: СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Под системой координат на плоскости понимают способ позволяющий, численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является, прямоугольная декартова система координат.

Оси координат делят плоскость на 4 области – четверти или квадранты

Вектором , называется r-вектором точки М, координата точки М в системе координат О, Х, У, называется координата r-вектора .

Способ определения положения точки с помощью чисел (координат), называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости состоит в том, что всякой линии на ней, как правило, сопоставляется ее уравнение, свойства этой линии изучаются путем исследования уравнения линии. Другой системой координат является полярная система координат – задается точка, называющаяся полюсом и лучом ОР, называется полярной осью и единичным вектором того же направления, что и луч ОР.

Возьмем точку М на плоскости не совпадающую с О. положение точки М определяется двумя числами. Ее расстоянием от полюса О и углом φ образованным отрезком ОМ с полярной осью, причем отсчет углов ведется в направлении противоположном движению часовой стрелки.

Число r, φ, называются полярными координатами точки М, при этом r, называют полярным радиусом, а φ полярным углом.

Установим связь между прямоугольными и полярными координатами. Для этого совместим полюс О с началом координат системы ОХУ

Пусть х и у прямоугольные координаты точки М, а r и φ ее полярные координаты. Из рисунка видно, что прямоугольные и полярные координаты точки М выражаются следующим образом:

,

Тема: РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ НА ПЛОСКОСТИ

Требуется найти расстояние d между точками А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂) на плоскости ОХУ. Искомое расстояние d равно длине вектора = (х₂ - х₁; у₂ - у₁), тогда .

Деление отрезка в данном отношении: требуется разделить отрезок АВ соединяющий точки А (х₁,у₁) и В (х₂,у₂) в заданном отношении λ > 0

Решение: введем в рассматриваемые вектора и . Точка М делит отрезок АВ в отношении λ, если = λ (1), но = (х - х₁; у - у₁), =(х₂ - х; у₂ - у), т.е. = (х - х₁) +( у - у₁)

=(х₂ - х) +( у₂ - у)

Тогда уравнение (1) имеет вид:

(х - х₁) +( у - у₁) = λ(х₂ - х) + λ( у₂ - у) , учитывая, что равные векторы имеют равные координаты получают (х - х₁)= λ х₂ - λ х₁ (2), т.е. ; у - у₁= λу₂ – λу (3), т.е. .

Уравнение 2 и 3, называются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности при λ = 1, то формула принимает следующий вид: =

, в этом случае точка М (х,у) является серединой отрезка. Если λ = 0 это означает, что точки А и М совпадают, если λ < 0, то точка М лежит вне отрезка АВ. Говорят, что точка М делит отрезок АВ внешним образом.

Тема: ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Требуется найти с вершинами А ((х₁,у₁), В (х₂,у₂), С (х₃,у₃)

Опустим из вершин АВС ┴ АА₁, ВВ₁, СС₁. очевидно: , поэтому , выражая через координаты будет иметь следующий вид:

, т.е.

Замечание: если при вычислении получим S = 0, то это означает, что точки А, В, С лежат на одной прямой. Если же получим отрицательное число, то следует взять его модуль.

Тема: ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ОСЕЙ КООРДИНАТ

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху.

Под параллельным переносом осей координат понимают переход от системы координат Оху к новой системе О₁Х₁У₁, при котором меняется положение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неизменными.

Рис. 5

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (х_о;у_о) в старой системе координат Оху, т. е. О₁(х_о;у_о). Обозначим координаты произвольной точки М плоскости в системе Оху через (х;у), а в новой системе О₁х₁у₁через (х';у') (см. рис. 5).

Рассмотрим векторы ОМ=xi+yj, OO₁ =x₀ i+y₀ j _,O₁M=x’i+y’j

Так как OM=OO₁+O₁M

xi+yj=x₀i+y₀j+x’i+y’j  xi+yj=(x₀+x’)i+ (y₀+y’)j

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Преобразование системы координат.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Тема: ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

П усть новая система О₁х₁у₁ получена поворотом системы Оху на угол α (см. рис. 6).

Пусть М — произвольная точка плоскости, (х; у) — ее координаты старой системе и (х';у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ох₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + φ и φ , где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но r *cos φ = х' и r * sin φ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые координаты (х';у') этой же точки М, и наоборот.

Рис. 7

Если новая система координат О₁х₁у₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 7), то путем введения вспомогательной системы О₁х₁у₁ легко получить формулы, выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

Тема: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ (ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ)

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x; у) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(х_о, у_о) на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F₁(x;y) = 0 и F₂(x;y) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; φ) =0 называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

(1)

где x и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если х = t + 1, у = t², то значению параметра t = 2 соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х= 2 + 1 = 3, у = 2² = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида F(x;y) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений

путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = х²; или у — х² = 0, т. е. вида F(x; у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Л инию на плоскости можно задать векторным уравнением r = r (t), где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению t_o соответствует определенный вектор r₀ = r (t₀), плоскости. При изменении параметра t конец вектора r = r (t) опишет некоторую линию (см. рис. 8).

Векторному уравнению линии r = r (t) в системе координат Оху соответствуют два скалярных уравнения (1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения. рис. 8

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x;y) = 0.

Всякому уравнению вида F(x;y) = 0 соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением

(выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения.

Так, уравнению (х - 2)² + {у - З)² = 0 соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению х² + у² + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 9-17 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Рис. 9. Окружность радиуса R

Рис. 10. Лемниската Бернулли

Уравнение в прямоугольных координатах: (х² + у²)² - а²(х² - у²) = 0, а > 0;

в полярных координатах: r = а √cos2φ

Рис. 11. Трехлепестковая роза

В полярных координатах ее уравнение имеет вид r = а cos3φ 3, где а > 0.

Рис. 12. Улитка Паскаля

Уравнение в полярных координатах имеет вид r = b +а cosφ .

Рис 13. Полукубическая парабола

Уравнение кривой у² = х³ или

Рис. 14. Астроида

Уравнение в прямоугольных координатах: х^2/3+y^2/3 =а^2/3; параметрические уравнения:

Рис. 15. Кардиоида

Уравнение в полярных координатах мест вид r = а(1+ cosφ), где а > 0. Кардиоида — частный случай улитки Паскаля (а = b).

Рис. 16. Спираль Архимеда

Уравнение кривой в полярных координатах r = а φ ,где а > 0 — постоянное.

Рис. 17. Циклоида

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид

Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.

Тема: УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

У равнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости Оху задана произвольная прямая, не параллельная оси Оу. Ее положение вполне определяется ординатой b точки N(0; b) пересечения с осью Оу и углом α между осью Ох и прямой (см. рис. 18).

Под углом α (0≤ α < π) наклона прямой

рис. 18 понимается наименьший угол на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси Оx против часовой стрелки ось Ох до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку М(х;у) (см. рис. 18). Проведем через точку N ось Nx', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную

Угол между осью Nx'. и прямой равен а. В системе Nx'y точка М имеет координаты х и у-b.

Из определения тангенса угла следует равенство

tga=	у-b
	х

, т. е. у = tga*x + b. Введем обозначение tga = k, получаем уравнение у = кх + b, (2.2)

которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой

Можно убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой, уравнению (2.2) не удовлетворяют.

Число к = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (2.2) — уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно, уравнение этой прямой будет иметь вид у = кх.

Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, к = tga = 0 и уравнение (2.2) примет вид у = b. Если прямая параллельна оси Оу, то a =π/2, уравнение (2.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент к = tga = tg π/2 не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид

х = а, (2.3)

а- абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что уравнения (2.2) и (2.3) есть уравнения первой степени.

Общее уравнение прямой

Рассмотрим уравнение первой степени относительно х и у в общем

Ах + Ву + С = 0, (2.4)

где А, В, С — произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

Покажем, что уравнение (2.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два случая.

Если В = 0, то уравнение (2.4) имеет вид Ах + С = 0, причем А≠ 0, т. е. х= - С/А. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку ( — С/А;0).

Если В≠ 0, то из уравнения (2.4) получаем у = — А/В*х —С/В. Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tg a = —А/В.

Итак, уравнение (2.4) есть уравнение прямой линии, оно называется общим уравнением прямой.

Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду у = — С/В. Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;

2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;

3. если С = 0, то получаем Ах+Ву = 0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0; 0), прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Пусть прямая проходит через точку М(х_о;у_о) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом к. Уравнение этой прямой можно записать в виде у = кх + b, где b — пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(х_о;у_о), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: у_о = кх_о + b. Отсюда b = у_о — кх_о.

Подставляя значение b в уравнение у = кх + b, получим искомое уравнение прямой у = кх + у_о - кх_о, т. е.

у - у _о = к(х-х_о). (2.5)

Уравнение (2.5) с различными значениями к называют также уравнениями пучка прямых с центром в точке М(х_о;у_о)- Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁;y₁) и М₂(х₂;у₂). Уравнение прямой, проходящей через точку М₁, имеет вид

у –у₁ = к(х-х₁). (2.6)

где к — пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку М₂(х₂;у₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2.6): у₂ - у ₁ = к(х₂-х₁). Отсюда находим к = у₂ - у ₁ / х₂-х₁. Подставляя найденное значение к в уравнение (2.6), получим уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂:

(2.7)

Предполагается, что в этом уравнении х_1≠х_2, у _{1 ≠} у_{2 .}

Если х₂ = x₁, то прямая, проходящая через точки M₁(x₁;y₁) и М₂(х_2;у₂), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х = х₁.

Если у₂ = у_1, то уравнение прямой может быть записано в виде у = у₁, прямая М₁ М₂ параллельна оси абсцисс.

Уравнение прямой в отрезках

П усть прямая пересекает ось Ох в точке M₁(a;0), а ось Оу — в точке М₂(0; b) (см. рис.19). В этом случае уравнение (2.7) примет вид

рис.19

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа а и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку М(х_о;у_о) перпендикулярно данному ненулевому вектору п = (А; В). рис.20

В озьмем на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор = (х — х_о;у — у_о) (см. рис. 20). Поскольку векторы п и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: п* МоМ = 0, то есть

А(х - х₀) + В (у - уо) = 0. (2.8)

Уравнение (2.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Вектор п = (А; В), перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Уравнение (2.8) можно переписать в виде

Ах + Ву + С = 0, (2.9)

где А и В — координаты нормального вектора, С= Ах_о — Ву₀ — свободный член.

Уравнение (2.9) есть общее уравнение прямой (см 2.4)

Полярное уравнение прямой рис.21

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис. 21).

Для любой точки М(r;φ) на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Следовательно,

(2.10)

Полученное уравнение (2.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Нормальное уравнение прямой

Пусть прямая определяется заданием р и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

r•cos(φ - α) - р = 0, т. е. r•cosφ•cosα + r•sinφ•sinα- р = 0.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r•cosφ = х,

r•sinφ = у. Следовательно, уравнение (2.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

х• cosα + у• sinα - р = 0. (2.11)

Уравнение (2.11) называется нормальным уравнением прямой.

Покажем, как привести уравнение (2.4) прямой к виду (2.11).

Умножим все члены уравнения (2.4) на некоторый множитель λ≠0 Получим λ Ах + λ Ву + λ С = 0.

Это уравнение должно обратиться в уравнение (2.11). Следовательно, должны выполняться равенства:

λА = cosα, λВ = sinα, λC = - р. Из первых двух равенств находим

Множитель λ называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству λC = - р знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

Тема: ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ

Угол между двумя прямыми и условия параллельности перпендикулярности двух прямых

П усть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами рис. 22

у = к₁х + b₁ и у = к₂х + b₂ (см. рис. 22).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

Решение: Имеем α₂ = φ + α₁ (теорема и внешнем угле треугольника) или φ = α_{2 -} α₁. Если φ≠π/2, то

Ho tg α₁ = к_1, tg α₂= k₂, поэтому

^(2.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (2.12) берется по модулю, т. е

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то φ = 0 и tg φ = 0. Из формулы (2.12) следует к₂ - к₁ =0, т. е. к₂ = к₁. И обратно, если прямые L₁ и L₂ таковы, что к₁=к₂, то tg φ = 0, т. е. прямые параллельны.

Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: к₁=к₂

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то φ = π/2. Следовательно,

Отсюда 1 + к₁• к₂ = 0, т. е. к₁• к₂ = -1( или к₂ =- 1/к₁)

Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство к₁• к₂ = -1

Расстояние от точки до прямой рис. 23

П усть заданы прямая L уравнением Ах + By + С = 0 и точка М(х_о;у_о) (см. рис. 23). Требуется найти расстояние от точки M₀ до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки Мо до прямой L равно модулю проекции вектора М₁Мо, где M₁(x₁;y₁) - произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора п = (А;В). Следовательно,

Так как точка M₁(x₁;y₁) принадлежит прямой L, то Ах₁ +- Ву₁ + С = 0, т. е

С =- Ах₁ – Ву₁. Поэтому

(2.13)

что и требовалось получить.