Тема: смешанное произведение трёх векторов

Даны три произвольных вектора .

Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то – это смешанное произведение векторов .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 2.

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком <+>, если – правая тройка векторов, и со знаком <->, если тройка – левая.

Если векторы – компланарны, то объем равен нулю, и .

доказательство. Пусть S – площадь параллелограмма, построенного на векторах , – единичный вектор, перпендикулярный к векторам и, образующий с ними правую тройку. (Вектор – орт векторного произведения .)

Из геометрического свойства 2 векторного произведения:

– высота параллелепипеда, построенного на векторах , с основанием S.

, а , если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .

, а , если тройка левая.

Если векторы – компланарны, то .

Следствие 1.

.

доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно

.

По теореме 2: , .

Далее будем обозначать смешанное произведение , так

как .

Следствие 2.

Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Тема: СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

1. при круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей меняется знак на обратный:

abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)

2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых

3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство, относительно скалярного множителя). Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения

4. смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя равны нулю, aab=0

Пример 1. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc

Пример 2.

(a+b)(b+c)(c+a)=(ab+ac+bb+bc)(c+a)=(ab+ac+bc)(c+a)=abc+aca+aca+aba+bcc+bca

Все члены, кроме двух крайних равно нулю. Кроме того bca=abc, поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc

Тема: ВЫРАЖЕНИЕ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ

Теорема 3.

Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде

.

доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

.

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

.

Координаты векторов .

По теореме 3

.

Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве:

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc <0 , то а, b , с - левая тройка.

Установление компланарности векторов:

Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды:

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V =|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.