Тема: векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой, что:

1) ,

2) и ,

3) образуют правую тройку векторов.

Понятие векторного произведения также пришло из механики: если – это сила , приложенная в точке М, вектор = , то векторное произведение – это момент силы относительно точки О.

M

O

Свойства векторного произведения: Геометрические свойства

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

|| .

доказательство. Пусть угол между векторами и равен .

a) Докажем, что .

или 180⁰ .

б) Докажем, что .

если  .

Если , или .

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

доказательство. Из курса геометрии

Из свойства 2 следует, что , где – единичный вектор, перпендикулярный векторам и и образующий с ними правую тройку:

а) =1,

б) , ,

в) , , – правая тройка.

Алгебраические свойства

3. Антикоммутативность: =

доказательство. Модули векторов и равны по определению векторного произведения. Проверим их направление:

а) || равенство выполняется;

б) и не параллельны. Но || по определению векторного произведения, тогда либо , либо . Пусть , а . Тройка векторов правая, а тройка – левая. Следовательно, и = .

4. Ассоциативность относительно умножения на число.

проверяем модуль:

а) , ,

где – угол между векторами и , а – угол между векторами и .

=>

поверяем направление:

б) если

если и .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

Тема: выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Теорема 1.

Пусть векторы и имеют координаты

.

Векторное произведение этих векторов имеет координаты

.

Можно расписать определители:

или представить в виде

.

доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:

(1)

.

Разложим векторы и по базису :

.

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно

с учетом формул (1).

Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов

.

Решение. Пусть .

.

Пример 2: Даны три точки: .

Найти площадь треугольника АВС ( ).

Решение.

.

Найдем координаты векторов .

.

.

Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Установление коллинеарности векторов:

Если ║ , то =0 (и наоборот), т.е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sin , т. е. S _пар = |а х b |. И, значит, S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки:

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.

Стало быть, М=ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения:

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).