Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Пусть и два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор . От точки отложим вектор . Вектор соединяет начало первого вектора с концом второго, называющийся суммой векторов и .

Это правило сложения векторов, называется правилом треугольника. Сумму двух векторов можно построить по правилу параллелограмма.

Сложение трех векторов используем

Под разностью векторов и понимается вектор , такой что

Отметим, что в параллелограмме построенном на векторах и одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая разностью.

Можно вычитать по следующему правилу:

, т.е. вычитание векторов заменим – сложить вектор с противоположным вектору .

Произведение вектора на скаляр или число λ, называется вектор λ* или * λ, который имеет длину , коллинеарен вектору имеет направление вектора (λ > 0) и противоположное направление, если λ < 0

Из определения произведения вектора на число, следует свойство этого произведения:

1. если = λ* , то ║ . Наоборот, если и коллинеарны, причем = 0, то при некотором λ верно равенство = λ*

2. каждый вектор равен произведению его модуля на орт = *

Свойство линейных операций над векторами:

1.

2.

3.

4.

5.

Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях с векторами, т.к. это делается в обычной алгебре, а именно слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать и выносить за скобки, как скаляры, так и векторные общие множители.

Тема: ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Выражение «проекция вектора на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометрическом и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора на ось ОХ, называется вектор (рис 1) начало, которого А^' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В^' – проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_ОХ или, короче, Пр . Если ось ОХ задана вектором , то вектор , называется также проекцией вектора на направление вектора и обозначается Пр_с .

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ, называется также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектора на ось ОХ(или на направление вектора ), называется длина вектора , взятая со знаком плюс или минус, смотря по тому, имеет ли вектор то же направление, что и ось ОХ (вектор ), или противоположное.

Обозначение: Пр_ОХ или Пр_с

Замечание: геометрическая проекция (компонента) вектора есть вектор, а алгебраическая проекция вектора есть число.

Пример 1. Геометрическая проекция вектора (рис 2) на ось ОХ, есть вектор . Его направление противоположно направлению оси, а длина (при единице масштаба ОЕ) равна 2. значит, алгебраическая проекция вектора на ось ОХ, есть отрицательное число -2.

,

K

Если векторы и (рис 3) равны, то их алгебраические проекции по одной и той же оси тоже равны . То же для геометрических проекций.

Алгебраические проекции одного и того же вектора на две равнонаправленные оси (О₁Х₁ и О₂Х₂, рис 4) равны (если оси параллельны, но противоположно направлены, то алгебраические проекции не равны, они отличаются знаком) ( ). То же для геометрических проекций.

М^'

3. Связь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора. Пусть есть вектор, равнонаправленный с осью ОХ и имеющий длину 1. Тогда геометрическая проекция (компонента) какого-либо вектора , по оси ОХ равна произведению вектора на алгебраическую проекцию вектора по той же оси:

Пример 2. При обозначениях рис 2 имеем

. Геометрическая проекция вектора на ось ОХ есть вектор , алгебраическая проекция того же вектора есть число -2 (см пример 1). Имеем:

Тема: ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ

Если , то

Если ( ), то (см рис 1)

Если , то

Свойство 1. Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на cos угла φ медлу вектором и осью, т.е.

Следствие 1.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие 1.2. Проекция равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Пусть, например, , имеем , т.е. (см рис 2)

Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

Свойство 3. При умножении вектора на число λ его проекция на ось также умножается на это число, т.е. .

При λ > 0 имеем (свойство 1)

При λ < 0:

Свойство справедливо, очевидно, и при λ = 0.

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Тема: РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях ОХ, ОУ и OZ единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно (см. рис. 3).

Рис.3

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: = .

Найдем проекции вектора на координатной оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через , и . Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда , , . По определению суммы нескольких векторов находим .

А так как , , то .

Обозначим проекции вектора = на оси ОХ, ОУ и OZ соответственно через , и , т.е. , , . Тогда получаем:

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , , называются координатами вектора , т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство часто записывают в символическом виде: .

Равенство означает, что . Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т.е.

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями ОХ, ОУ и OZ соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось, имеем , , . Или, что, то же самое, , , . Числа cos α, cos β, cos γ , называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения , , в равенство ,получаем:

Сократив на получим соотношение: ,

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа cos α, cos β, cos γ , т.е.

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

Модуль вектора.

Длина вектора, называется также его модулем. Модуль есть скалярная величина.

Модуль вектора обозначается двумя вертикальными чертами – слева и справа: , или , или а.

При двухбуквенном обозначении вектора его модуль иногда обозначается теми же буквами, но без стрелки (АВ – модуль вектора ), при однобуквенном обозначается той же буквой, напечатанной светлым шрифтом (b – модуль вектора b ).

Действия над векторами, заданными проекциями.

Пусть векторы и заданы своими проекциями на оси координат OX, OУ, OZ или что то же самое

,

Тема: РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

Определение. Два (ненулевых) вектора и равны, если они равнонаправлены и имеют один тот же модуль. Все ненулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны.

Пример 1. Векторы и (рис 5) равны.

Пример 2. Векторы и (рис 6) не равны (хотя у них длины и одинаковы), т.к. их направления различны. Векторы и то же не равны, а векторы и равны.

N

Предостережение. Нельзя смешивать понятие «равенство векторов» с понятием «равенство отрезков». Говоря: «отрезки ON и KL равны», мы утверждаем, что один из них можно совместить с другим. Но для этого может понадобиться поворот совместимого отрезка (как в расположении рис 6). В таком случае согласно определению векторы и не равны. Два вектора будут равны лишь в том случае, когда их можно совместить без поворота.

Обозначения. Запись = , выражает, что векторы и равны. Запись ≠ выражает, что векторы и не равны. Запись = , выражает, что модули (длины) векторов и равны, при этом сами векторы и могут равняться, а могут и не равняться друг другу.

Пример 3. = (рис 5), ≠ , = , = (рис 6).

Тема: КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Векторы , , на рис 7 коллинеарны. Векторы , , на рис 8 коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные. Так, векторы и (рис 7) равнонаправлены, векторы и (а также и ) противоположно направлены. Векторы и на рис 8 равнонаправлены, векторы и противоположно направлены.

Тема: КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Определение. Прямоугольными координатами вектора , называются алгебраические проекции вектора на оси координат. Координаты вектора обозначаются большими буквами X, Y, Z (координаты точки маленькими).

Запись: или

Вместо того, чтобы проецировать вектор на оси OX, OY, OZ можно проецировать его на оси М₁А, М₁В, М₁С (рис 9) проведенные через начало М₁ вектора и равнонаправленные с осями координат.

Пример 1. Найти координаты вектора (рис 9) относительно системы координат ОХУZ. Через точку М₁ проводим оси М₁А, М₁В, М₁С соответственно равнонаправленные с осями OX, OY, OZ.

Через точку М₂ проводим плоскости М₂Р, М₂Q, М₂R параллельно координатным плоскостям. Плоскости М₂Р, М₂Q, М₂R пересекут оси М₁А, М₁В, М₁С соответственно в точках Р, Q, R. Абсцисса Х вектора есть длина вектора , взятая со знаком минус; ордината У вектора есть длина вектора , взятая со знаком минус; аппликата Z – длина вектора , взятая со знаком плюс. При масштабе рис 9 Х=-4, У=-3, Z=2.

Запись: или

Если два вектора и равны, то координаты соответственно равны:

Координаты вектора не меняются при параллельном переносе системы координат. Напротив, координаты точки при параллельном переносе системы координат меняются.

Если начальная точка О вектора соответственно равны координатам конечной его точки М.

Пример 2. У вектора на рис 10 абсцисса Х=2, ордината У=-3, аппликата Z=2. те же координаты имеет точка М.

Запись: или

Тема: КООРДИНАТЫ ТОЧКИ

Положение любой точки М в пространстве можно определить тремя координатами следующим образом: через точку М проводим плоскости МР, МQ, МR (рис 10) соответственно параллельно плоскостям XOZ, ZOX, XOY. В пересечении с осями получаем точки Р, Q, R. Числа х (абсцисса), у (ордината), z (аппликата) (латинское слово «аппликата» (applicata) в переводе означает «приложенная» (точку М можно построить так: сначала взять на плоскости XOY точку L с координатами х=ОР, у=РL, а затем «приложить» отрезок МL=z, перпендикулярно плоскости XOY)), измеряющие отрезки ОР, ОQ, ОR в избранном масштабе, называются (прямоугольными) координатами точки М. они берутся положительными или отрицательными, смотря по тому имеют ли векторы соответственно те же направления, что и основные векторы I, j, k или противоположные.

Пример. Координаты точки М на рис 10 есть: абсцисса х=2, ордината у=-3, аппликата z=2.

Запись: М(2;-3;2)

Вектор , идущий от начала координат О к некоторой точке М, называется радиусом-вектором точки М и обозначается буквой r; чтобы отличать друг от друга радиусы-векторы разных точек, при букве r ставят значки: так, радиус-вектор точки М обозначается r_М. радиусы-векторы точки А₁, А₂, … , А_n, обозначается r₁, r₂, … r_n.

Тема: СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и , называется число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними (1), где . Формуле 1 можно придать иной вид:

, тогда получаем 2-ю формулу: (2), т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них умноженной на проекцию другого на ось сонаправленную с первым вектором.

Свойства:

1. скалярное произведение обладает переместительным свойством

доказательство:

2. скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя

доказательство:

3. скалярное произведение обладает распределительным свойством

доказательство:

4. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины

доказательство:

Если вектор возвести скалярно в квадрат, а затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль

5. если векторы и не нулевые, взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю: ┴ , =0, справедливо и обратное утверждение =0, ≠0, ≠0 ┴

доказательство: т.к. угол φ=(а^b)= , то cos φ = cos =0

= 0=0

Если =0, а ≠0 и ≠0, то cos угла равен нулю при 90^○ ┴

Тема: ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ

Пусть задано два вектора и :

,

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их, как многочлены, что законно в силу свойств линейности скалярного произведения. И пользуясь таблицей скалярности произведения векторов:

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Записываем: ;

и так скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Тема: НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. угол между векторами. Определение угла φ между ненулевыми векторами

отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

┴

2. проекция вектора на заданное направление. Нахождение проекции вектора на направление заданные вектором может осуществляться по формуле:

, ;

,

3. работа постоянной силы. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующий угол φ с перемещением АВ равному какому-то S:

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S: , . Таким образом работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равно скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.