Розділ 3. Лінійні моделі множинної регресії.

3.1. Рівняння множинної лінійної регресії.

На будь-який економічній показник найчастіше впливає не один, а декілька факторів. Явище, яке залежить від багатьох факторів можна описати за допомогою множинної регресії. Множинна регресія широко використовується у вирішенні проблем попиту, прибутковості акцій, при вивченні функцій витрат виробництва, в макроекономічних розрахунках і при вирішенні інших питань в різних економічних сферах. В даний час множинна регресія - один з найбільш поширених методів в економетриці.

Основна мета множинної регресії - побудувати модель з великим числом факторів, визначивши при цьому вплив кожного з них окремо, а також сукупну їх дію на модельований показник.

Схематично модель множинної регресії записується у вигляді:

Y = а_о + а₁Х₁ + а₂Х₂ + ... + а_mХ_m + l, (3.1)

де Y - результативний економічний показник, Х₁ ,Х₂ , ... ,Х_m - фактори, m – кількість факторів, а_о , а₁ , ... , а_m – параметри моделі, l – випадкова складова.

Наприклад, якщо Y – попит на товари першої необхідності на душу населення, то факторами можуть бути: Х₁ - зерно та продукти його переробки, X₂ - м'ясо та м’ясні продукти, X₃ - молоко та молочні продукти; Х₄ - овочі; X₅ - фрукти, X₆ - цукор та кондитерські вироби, Х₇ - алкогольні та безалкогольні напої; X₈ - риба та рибні продукти, Х₉ - тканини та швейні вироби, Х₁₀ - галантерейні вироби, Х₁₁ - взуття.

Побудова рівняння множинної регресії починається з рішення питання про специфікацію моделі (вибір факторів, виду рівняння і ін.)

Фактори, що включаються в модель множинної регресії, повинні відповідати наступним вимогам:

- повинні бути кількісно вимірювані;

- не повинні знаходиться у функціональній залежності;

- в одну модель не можна включати сукупний фактор і фактори, що є його складовими , що може привести до невиправданого збільшення їх впливу на залежний показник, до спотворення реальної дійсності;

- кількість факторів, що включаються в модель, не повинна перевищувати однієї третини числа спостережень у вибірці.

3.2. Мнк у матричній формі.

Нехай в результаті спостережень деякого об'єкту за n періодів (декад, місяців, кварталів, років) або спостережень за один період над n об'єктами, в яких показник Y залежить від n факторів Х₁, Х₂, ... ,Х_m, отримані такі дані

Таблиця 3.1

Y	X1	X2	…	Xj	…	Xm
Y1	X11	X21	…	Xj1	…	Xm1
Y2	X12	X22	…	Xj2	…	Xm2
…	…	…	…	…	…	…
Yi	X1i	X2i	…	Xji	…	Xmi
…	…	…	…	…	…	…
Yn	X1n	X2n	…	Xjn	…	Xmn

Припустимо, що між показником Y і факторами Х₁, Х₂,...,Х_m існує лінійна залежність

Y = α_о + α₁Х₁ + α₂Х₂ + ... + α_mХ_m + l,

Для n спостережень одержимо n рівнянь:

...

Ці рівняння можна записати у матричній формі:

, (3.2)

де - вектор-стовпчик спостережуваних значень показника; - матриця спостережуваних значень факторів ; - вектор-стовпчик оцінюваних параметрів; - вектор-стовпчик відхилень фактичних даних.

Щодо вектора похибок , то введемо такі припущення:

1. для кожного спостереження l_i – випадкова величина;

2. M[l_i²]=σ², похибки мають однакову дисперсію σ² ;

3. M[l_i]=0, математичне сподівання похибки дорівнює нулю для кожного і-го спостереження;

4. l_i та l_j не корельовані при i≠j.

Розв’язком системи є вектор :

(3.3)

Обчислення оцінок доцільно проводити в такому порядку:

1. Знайти добуток матриць (X)^Т(X).

2. Знайти обернену матрицю [(X)^Т(Х)]^-1 , яку називають матрицею похибок;

З. Знайти добуток матриці (X)^Т на вектор Y.

4. Знайти оцінки шляхом множення матриці [(X)^Т(Х)]^-1 на вектор-стовпець (X)^TY.

Зауваження. При розв'язувані задачі матричним методом зручно використовувати електронні таблиці, наприклад, Ехсеl, де є вбудовані функції добутку і обертання матриць.