Специфические аксиомы и теоремы алгебры логики.
Законы де Моргана являются одной из иллюстраций свойства двойственности и, как уже отмечалось, могут быть сформулированы в виде:
Из законов Моргана следует, что, имеется возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию - через конъюнкцию и отрицание. Законы де Моргана и следствия из них справедливы для любого количества переменных.
Функция сложения по модулю 2 представляется следующим образом:
.
Для этой функции справедливы следующие аксиомы:
.
На основании рассмотренных аксиом и свойств элементарных логических функций можно, например, вывести правила представления функций «И», «ИЛИ», «НЕ» через функцию сложения по модулю 2 и наоборот:
Функции «И», «ИЛИ», «НЕ» через функцию Шеффера выражаются следующим образом:
Функция Пирса может описываться следующими выражениями:
Для этой функции справедливы следующие аксиомы:
Функции «И», «ИЛИ», «НЕ» выражаются через функцию Пирса следующим образом:
Следует отметить, что логические выражения, содержащие операции дизъюнкции и конъюнкции, можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т.д.) по правилам алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию - операцией умножения. В алгебре логики, в отличие от обыкновенной алгебры, знак + либо знак означают логическую связку «ИЛИ», а знак умножения "•" либо знаки и &, означают логическую связку «И».
Булево выражение представляет собой формулу, состоящую из логических констант и логических переменных, соединенных знаками логических операций.