Перечень элементарных логических функций от двух переменных.

Две функции считаются равносильными друг другу, если они принимают на всех возможных наборах своих аргументов одни и те же значения.

Логическая переменная - действительна, если значение логической функции изменяется при изменении . В противном случае эта переменная для данной функции фиктивна, т.е. не является ее аргументом.

Необходимость ввода этих двух последних понятий возникла по следующей причине. При анализе некоторой неизвестной логической функции (логической схемы), для которой необходимо сформировать аналитическое выражение, не все подключаемые для этого анализа логические переменные могут быть аргументами этой функции, что и выявляется в итоге проведенного анализа. Любые логические операции над логическими переменными можно свести к определенной совокупности элементарных логических функций, например, таких как «И», «ИЛИ», «НЕ-ИЛИ».

Элементарные логические операции в компьютерах выполняются также над двоичными числами, поразрядно. В таблице 8.10 приведено несколько примеров выполнения логических операций над двумя двоичными числами.

Таблица 8.10.

Примеры логических операций над двумя двоичными числами.

Подстановка в логическую функцию вместо ее аргументов других логических функций называется суперпозицией.

Система логических функций называется функционально полной, если с помощью функций, входящих в эту систему, применяя операции суперпозиции и подстановки, можно получить любую сколь угодно сложную логическую функцию.

Элементы, реализующие простейшие логические функции, схематически представляются в виде прямоугольников, на поле которых изображается символ, обозначающий функцию, выполняемую данным элементом. На рис. 8.1 показаны условные обозначения элементов, реализующих логические функции «И», «ИЛИ», «НЕ». Входные переменные принято изображать слева, а выходные - справа. Считается, что передача информации происходит слева на право.

Рис. 8.1. Условные обозначения элементов, реализующих логические функции «И», «ИЛИ», «НЕ»

При переходе от логических функций к логическим схемам обычно принимается, что логической единице (1) соответствует импульсный сигнал стандартной амплитуды, например, высокого уровня, а логическому нулю (0) - низкого уровня и обычно фиксированной длительности. Причем, все входные сигналы должны поступать на каждый элемент одновременно.

Как любую логическую функцию можно реализовать при помощи соответствующей комбинации элементарных логических функций, так и любую логическую схему можно сформировать при помощи соответствующей комбинации элементарных логических элементов.

Свойства элементарных функций алгебры логики

В алгебре логики имеются четыре основных закона: переместителъный (свойства коммутативности); сочетательный (свойства ассоциативности); распределительный (свойства дистрибутивности); инверсии (правило де Моргана).

Некоторые законы обычной алгебры применимы и к алгебре логики.

Переместителъный закон:

для умножения ;

для сложения (А+В) = (В+А).

Сочетательный закон:

для умножения

для сложения А+(В+С)=(А+В)+С.

Распределительный закон:

;

.

Алгебра логики имеет ряд специфических аксиом и теорем, основные из которых, необходимые для анализа и синтеза логических цепей или схем, приведены в таблице 8.11.

Аксиомы и теоремы, записанные во второй колонке табл. 8.11 (т.е. слева), называются двойственными аксиомам и теоремам, записанным в третьей колонке (т.е. справа).

Двойственность определяется как изменение всех знаков операции «И» на знаки операции «ИЛИ», всех знаков операции «ИЛИ» на знаки операции «И», всех нулей на единицы и всех единиц на нули.

Двойственность является одним из основных свойств алгебры логики и означает, что если - двойственные функции, то:

.

Таблица 8.11.