Тема 7. Методика изучения особых и внетабличных случаев умножения и деления чисел

План темы

1. Методика изучения особых случаев умножения и деления чисел.

2. Теоретическая основа внетабличного умножения чисел и методика ее изучения.

3. Методика ознакомления учащихся с вычислительными приемами внетабличного приемами внетабличного умножения чисел.

4. Теоретическая основа внетабличного деления чисел и методика ее изучения.

5. Методика ознакомления учащихся с вычислительными приемами внетабличного деления чисел.

Основное содержания

• Особые случаи умножения и деления – это случаи умножения и деления с 0 и , так как они не могут быть объяснены с общих позиций конкретного смысла действий (нет суммы из одного или нуля слагаемых). Поэтому случаи вида: , вводятся как правила.

• Аналогичным образом вводится правило: «На нуль делить нельзя!».

• Приему умножения числа 1 на любое число и умножения числа 0 на любое число вводятся на основе конкретного смысла действия умножения как суммирование одинаковых слагаемых.

В записях 1 ∙ 5; 0 ∙ 3 первый множитель показывает, какое число суммируем, а второй множитель – сколько раз берем слагаемым первый множитель:

1 ∙ 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 => 1 ∙ a = a

0 ∙ 3 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 => 0 ∙ в = 0

• Для деления чисел на число и само на себя теоретической основой является правило взаимосвязи компонентов умножения и деления:

a ∙ b = с => с : в = а;

поэтому: 1 ∙ a = a => a : 1 = a; a : a = 1, если а ≠ 0;

0 ∙ в = 0 => 0 : в = 0, в ≠ 0.

• К внетабличным случаям умножения и деления чисел в пределах 100 относятся случаи:

1. умножение двузначного числа на однозначное и однозначного числа на двузначное;

2. деление двухзначного числа на однозначное, когда в частном получается двузначное число;

3. деление двузначного числа на двузначное.

• Теоретическая основа внетабличного умножения числа включает:

1. правило умножения суммы на число;

2. переместительное свойство умножения;

3. сочетательное свойство умножения.

• В основе разъяснения правила умножения суммы на число лежит опора на знание конкретного смысла действия умножения:

1. схематическая иллюстрация:

ООО ∆

ООО ∆;

2. Математические записи для подсчета геометрических фигур:

(3 + 1) ∙ 2 = 4 ∙ 2 = 8

3 ∙ 2 + 1 ∙ 2 = 6 + 2 = 8;

3. сравнение записей и формулировка правила:

«Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на число каждое слагаемое и полученные произведения сложить».

• Переместительное свойство умножения изучалось перед составлением таблицы умножения однозначных чисел на постоянный второй множитель.

• Для разъяснения переместительного свойства применялся метод подсчета фигур по столбцам и по строкам:

ООО 2 ∙ 3 = 6

ООО 3 ∙ 2 = 6

Сравнение записей позволяет сформулировать правило «От перестановки множителей произведение не меняется».

Применение конкретного смысла действия умножения для вычислений в случаях вида: 2 ∙ 9 и 9 ∙ 2 приводит учащихся к выводу о том, что удобнее большее число умножать на меньшее.

• В основе разъяснения сочетательного свойства умножения лежит конкретный смысл действия умножения и правило перестановки множителей:

1. схематическая иллюстрация с помощью числовых фигур;

2. математические задания для подсчета числовых фигур:

(4 ∙ 3) ∙ 2 = 24

4 ∙ (3 ∙ 2) = 24

(4 ∙ 2) ∙ 3 = 24

3. рассматривая три способа вычисления результатов с опорой на анализ рисунка, ученики формулируют правило: «Перемножать числа можно в любом порядке. Результат умножения не зависит от порядка выполнения умножения».

• Вычислительные приемы внетабличного умножения чисел:

1. умножение чисел, оканчивающихся нулем:

1. 20 ∙ 3 = 2 дес. ∙ 3 = 6 дес. = 60;

2. 2 ∙ 30 = 30 ∙ 2 = 3 дес. ∙ 2 = 6 дес. = 60.

Вычислительный прием сводится к табличному умножению чисел, одно из которых – число десятков в заданных множителях.

2. прием умножения двузначного числа на однозначное:

3

1. 2 3 ∙ 4 = 20 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 80 + 12 = 92

20

При умножении двузначного числа на однозначное актуализируются следующие знания, являющиеся теоретической основой операции вычислительного приема: разрядный состав числа; правило умножения суммы на число; умножение целых десятков; таблица умножения; сложение двузначных чисел;

2. 4 ∙ 23 = 23 ∙ 4 – прием перестановки множителей, основанный на знании переместительного свойства умножения.

• Теоретическая основа внетабличного деления чисел включает:

1. правило деления суммы на число;

2. связь деления и умножения.

• Методика разъяснения правила деления суммы на число:

1. схематические иллюстрации и соответствующие записи:

?????

2. сравнение записей и формулировка правила: «Чтобы разделить сумму на число, можно каждое слагаемое разделить на это число и полученные частные сложить».

• Методика изучения связи деления и умножения может включать следующую последовательность учебных действий:

1. предметная или схематическая иллюстрация и соответствующая запись действия умножения: ∆ ∆ ∆ => 3 ∙ 2 = 6 (1)

∆ ∆ ∆

2. разбиение множества из 6 предметов в группы на 3 предмета:

∆∆∆ ∆∆∆ и соответствующая запись: 6 : 3 = 2 (2)

3. разбиение множества из 6 предметов поровну в 2 группы

∆∆∆ ∆∆∆ и соответствующая запись: 6 : 2 = 3 (3)

4. повторение названий компонентов в 1=й записи: первый множитель – 3; 2-й множитель – 2; произведение – 6;

5. какое действие мы с ними выполнили и что получили во 2 и 3 действии? Ученики отвечают: «Произведение разделили на 1-й множитель, получили 2-й множитель. Произведение разделили на 2-й множитель, получили 1-й множитель».

6. Формулируется правило: «Если произведение разделить на один из множителей. то получится второй множитель». Значит, по примеру на умножение можно составить 2 примера деления:

а ∙ в => с : а = в;

с : в = а.

Поэтому чтобы разделить одно число на другое, надо найти такое число, умножив которое на делитель, получим делимое: с : а = в => в ∙ а = с.

• Вычислительные приемы внетабличного деления чисел:

1. деление чисел, оканчивающихся нулем:

1. 80 : 4 = 8 дес. : 4 = 2 дес. = 20 – прием представления круглых двузначных чисел, в виде разрядных единиц и табличное деление;

2. 80 : 20 = ….

20 ∙ 4 = 80

80 : 20 = 4 – прием подбора частного, основанный на связи деления и умножения;

2. прием деления двузначного числа на однозначное:

1. 36 : 3 = (30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 10 + 2 = 12;

2. 36 : 2 = (20 + 6) : 2 = 20 : 2 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18 – прием основанный на свойстве деления суммы разрядных слагаемых или удобных слагаемы на число;

3. прием делении двузначного числа на двузначное:

56 : 14 = ….

14 ∙ 4 = 56

56 : 14 = 4 – прием подбора частного, основанный на связи деления и умножения.